Учебник. Степень с произвольным показателем




Степень с произвольным показателем

Пусть теперь a0 ,  m, n, n2. По определению полагают, что a m n = a m n . Если же a > 0, то по определению полагают, что a - m n = 1 a m n .

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Вычислить 1) 27 1 3 ; 2) 81 - 3 4 ; 3) 1 16 - 1 2 .

1) 27 1 3 = 27 3 =3 ;

2) 81 - 3 4 = 1 81 3 4 = 1 81 3 4 = 1 ( 3 4 ) 3 4 = 1 3 12 4 = 1 3 3 = 1 27 ;

3) ( 1 16 ) -1/2 = 1 ( 1 16 ) 1/2 = 1 1 16 = 1 1 16 = 1 1 4 =4.

Ответ. 1) 3; 2) 1 27 ; 3) 4.

Пусть a > 0, b > 0, r, s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

  1. ar ċ as = ar + s.
  2. ar : as = ar – s.
  3. (ar)s = ars.
  4. ar ċ br = (ab)r.
  5. a r b r = ( a b ) r .

Упростите выражения 1) 8 x 5 6 :4 x - 2 3 ; 2) x 1/2 - y 1/2 ( x 1/2 + y 1/2 ) .

1) 8 x 5 6 :4 x - 2 3 =2 x 5 6 -( - 2 3 ) =2 x 5 6 + 2 3 =2 x 9 6 =2 x 3 2 .

2) ( x 1/2 - y 1/2 ) ( x 1/2 + y 1/2 ) = ( x 1/2 ) 2 - ( y 1/2 ) 2 =x-y.

Ответ. 1) 2 x 3 2 ; 2) x – y.

 

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа a0 мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого a0 мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого a>0 мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения ax и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи aα , где α − иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

  1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1α = 1.
  2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r1 < α и любое рациональное число r2 > α. Тогда, очевидно, r1 < r2 и, следовательно: a r 1 a r 2 ==== св-во 2 a r 1 - r 2 = 1 a r 2 - r 1 .

    Но r 2 - r 1 >0 и потому (так как a > 1) a r 2 - a r 1 > и, наконец, a r 1 a r 2 <1 a r 1 < a r 2 .

    Под a α понимают такое число, которое лежит между a r 1 и a r 2 при любом выборе чисел r 1 и r 2 , обладающих свойством r 1 <α< r 2 . Можно доказать, что число a α существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.
  3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число r 1 <α и любое рациональное число r 2 >α . Тогда, очевидно, r 1 < r 2 и, следовательно, a r 1 > a r 2 (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под a α понимают такое число, которое лежит между a r 1 и a r 2 при любом выборе чисел r 1 и r 2 , обладающих свойством r 1 <α< r 2 . Можно доказать, что число a α существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Пусть a > 0, b > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:

  1. ax ċ ay = ax + y.
  2. ax : ay = ax – y.
  3. (ax)y = axy.
  4. ax ċ bx = (ab)x.
  5. a x b x = ( a b ) x .

Выше мы определили значение выражения ab для всех вещественных a > 0 и всех вещественных b. Теперь мы можем определить степенную функцию.

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = xa, x > 0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

К основным свойствам степенной функции y = xa при a > 0 относятся:

  1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
  2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
  3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  4. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x 1 < x 2 , то a x 1 < a x 2 .
  5. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.

Степенная функция y = xa при a > 0
Степенная функция y = xa при a < 0

К основным свойствам степенной функции y = xa при a < 0 относятся:

  1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
  2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
  3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  4. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если x 1 < x 2 , то a x 1 > a x 2 .
  5. График степенной функции при a < 0 изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

  1. x a 1 x a 2 = x a 1 + a 2 .
  2. x a 1 : x a 2 = x a 1 - a 2 .
  3. ( x a 1 ) a 2 = x a 1 a 2 , если n > k.
  4. x a 1 > x a 2 на участке x > 1, если a 1 > a 2 .
  5. x a 1 < x a 2 на участке 0 < x < 1, если a 1 > a 2 .





 

Ремонт парогенератора Tefal
Ремонт парогенераторов любой сложности. Все делаем качественно и в срок
labremont.ru
© Физикон, 1999-2015