Учебник. Корень n-й степени




Корень n-й степени

Пусть a0 и n, n1 . Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство x n =a. Это число называется арифметическим корнем n-ной степени из неотрицательного числа и обозначается a n . При этом число a называется подкоренным числом, а число n − показателем корня.

Вместо слова «корень» часто говорят радикал. Если n = 2, то обычно пишут просто: a . При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем, при n = 3 говорят о кубическом корне.

Итак, по определению: { x= a n , a0; { x n =a, x0.

Отсюда следует, что ( a n ) n =a . Например, 27 3 =3,  16 4 =2,  0 5 =0.

При k, n, n1, k1 справедливы следующие свойства корней.

  1. ab n = a n ċ b n .
  2. a b n = a n b n b0.
  3. ( a n ) k = a k n .
  4. a k n = a nk .
  5. a km nm = a k n .

Если a < 0, а n=2k, k , то не существует такого действительного x, при котором бы выполнялось равенство x n =a . Следовательно, невозможно ввести понятие корня чётной степени из отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пусть a < 0, а n − нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что x n =a. Это число и называется корнем нечётной степени из отрицательного числа. Оно обозначается точно так же: a n . Например, -8 3 =-2 , так как ( -2 ) 3 =-8,   -243 5 =-3. Для нечётных показателей степени свойства, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Упростить: 1) 7 19 32 5 ; 2) a 6 4 ; 3) a 5 20 .

1) 7 19 32 5 = 243 32 5 = 243 5 32 5 = 3 2 .
2) a 6 4 = a 4ċ6 = a 24 .
3) a 5 20 = a 5 5ċ4 = a 4 .

Ответ. 1) 3 2 ; 2) a 24 ; 3) a 4 .

Упростите выражения 1) a 4 ċ a 5 4 ; 2) x 4 x ; 3) x 3 8 ċ x 7 12 .

1) a 4 ċ a 5 4 = aċ a 5 4 = a 6 4 = a 2ċ3 2ċ2 = a 3 ;
2) x 4 x = x 4 ċ x 2 4 = x 2+1 4 = x 3 4 ;
3) x 3 8 ċ x 7 12 = x 9 24 ċ x 14 24 = x 9+14 24 = x 23 24 .

Ответ. 1) a 3 ; 2) x 3 4 ; 3) x 23 24 .





 

© Физикон, 1999-2015