Учебник. Степень с целым показателем




Степень с целым показателем

В § 1.1.2 было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Пусть a − любое действительное число; n − натуральное число, большее единицы. Назовем n-ной степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a1 = a. Число a называется основанием степени, число n − показателем степени.

Справедливы следующие свойства степени:

  1. an ċ ak = an + k.
  2. an : ak = an – k, если n > k.
  3. (an)k = ank.
  4. an ċ bn = (ab)n.
  5. a n b n = ( a b ) n , b0.

Например, 3 3 ċ 3 2 = 3 3+2 = 3 5 ( 3 2 ) 4 = 3 2ċ4 = 3 8 ( 3 2 ) 2 = 3 2 2 2 = 9 4 .

По определению полагают, что a0 = 1 для любого a ≠ 0. Нулевая степень числа нуль не определена.

По определению полагают, что если a0 ,   n − натуральное число, то a -n = 1 a n .

Справедливо равенство ( a b ) -n = ( b a ) n . Например, ( -2 ) -2 = 1 ( -2 ) 2 = 1 4 ( 3 2 ) -1 = 2 3 .

Совершенно аналогично вводится понятие степени рациональных выражений. Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно − знаменатель: ( P Q ) n = P n Q n .

Преобразовать в дробь степень ( 2 x 2 x-1 ) 2 .

( 2 x 2 x-1 ) 2 = 4 x 4 ( x-1 ) 2 = 4 x 4 x 2 -2x+1 .

Ответ.  4 x 4 x 2 -2x+1 .

Возведение рациональной дроби в отрицательную степень происходит по следующей формуле:

( P Q ) -n = ( Q P ) n .

Преобразовать в дробь степень ( ( x+1 ) 2 ( x-1 ) 5 ( x+2 ) 3 ) -2 .

( ( x+1 ) 2 ( x-1 ) 5 ( x+2 ) 3 ) -2 = ( ( x+2 ) 3 ( x+1 ) 2 ( x-1 ) 5 ) 2 = ( x+2 ) 6 ( x+1 ) 4 ( x-1 ) 10 .

Ответ.  ( x+2 ) 6 ( x+1 ) 4 ( x-1 ) 10 .





 

© Физикон, 1999-2015