Учебник. Рациональные выражения




Рациональные выражения

Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):

Пусть задано числовое множество D . Если каждому числу  D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x  D. Множество D, называется областью определения функции и обозначается D (f (x)).

Множество, состоящее из всех элементов f (x), где  D, называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть ( x ) = P n  ( x ) Q m  ( x ) , где P n  ( x ) − многочлен n-ной степени, Q m  ( x ) − многочлен m-ной степени. Такую функцию f (x) ещё иногда называют рациональной дробью.

Дробно-линейная функция
  • x 2 +2x-16 x-1 ,  ( x-1 ) ( x-2 ) x 4 − рациональные функции;
  • x 2 + 2 x x 2 -1 = x 2 +4 2x( x 2 -1 ) , x+ 1 x = x 2 +1 x − эти функции изначально не представлены в виде отношения многочленов, но могут быть представлены в таком виде.

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой ( x ) ( x ) = ( x ) ċ( x ) ( x ) ċ( x ) , справедливой при ( x ) 0 и ( x ) 0, где R (x) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства: P Q =- -P Q =- P -Q = -P -Q . Например, x-1 2-x =- 1-x 2-x = 1-x x-2 =- x-1 x-2 .

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Сократите дробь x 3 -4x 2 x 2 +3x-2 .

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x + 2)(x – 2). Мы воспользовались вынесением общего множителя за скобку и формулой разности квадратов.

Знаменатель: 2 x 2 +3x-2=2( x+2 ) ( x- 1 2 ) =( x+2 ) ( 2x-1 ) .

Имеем: x 3 -4x 2 x 2 +3x-2 = x( x+2 ) ( x-2 ) ( x+2 ) ( 2x-1 ) = x( x-2 ) ( 2x-1 ) = x 2 -2x 2x-1 .

Ответ.  x 2 -2x 2x-1 .

Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.

Общим знаменателем нескольких рациональных функций называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Например, общим знаменателем двух дробей x 2 -2x 2x-1 и x 2 -1 x-2 будет многочлен (x – 2)(2x – 1). Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2x(x – 2)(2x – 1), а также 14 x 12 ( x-2 ) 5 ( 2x-1 ) 17 . Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем. В нашем примере таким знаменателем является многочлен (x – 2)(2x – 1). Имеем: x 2 -2x 2x-1 = ( x 2 -2x ) ( x-2 ) ( 2x-1 ) ( x-2 ) ,
x 2 -1 x-2 = ( x 2 -1 ) ( 2x-1 ) ( x-2 ) ( 2x-1 ) .
Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями. В нашем примере дополнительный множитель для дроби x 2 -2x 2x-1 равен (x – 2), а для дроби x 2 -1 x-2 равен (2x – 1).

Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:

  • во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
  • во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
  • в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
  • в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.

Привести к общему знаменателю дроби 1 2 x 3 +2 x 2 ;  x 6 x 2 -6 ;  2( x-1 ) 3 x 2 +3x .

Разложим знаменатели дробей на множители:

2x3 + 2x2 = 2x2(x + 1).

6x2 – 6 = 6(x2 – 1) = 6(x + 1)(x – 1).

3x2 + 3x = 3x(x + 1).

Значит, общим знаменателем данных дробей будет многочлен 6x2(x + 1)(x – 1). Дополнительными множителями для каждой из дробей будут:

  • для первой дроби 6 x 2 ( x+1 ) ( x-1 ) 2 x 2 ( x+1 ) =3( x-1 ) ;
  • для второй дроби 6 x 2 ( x+1 ) ( x-1 ) 6( x+1 ) ( x-1 ) = x 2 ;
  • для третьей дроби 6 x 2 ( x+1 ) ( x-1 ) 3x( x+1 ) =2x( x-1 ) .

Умножим каждую из дробей на её дополнительный множитель, приводя их тем самым к общему знаменателю:

  • 1 2 x 2 (x+1) = 3(x-1) 2 x 2 (x+1)ċ3(x-1) = 3(x-1) 6 x 2 (x+1)ċ(x-1) ;
  • x 6(x+1)(x-1) = xċ x 2 6(x+1)(x-1)ċ x 2 = x 3 6 x 2 (x+1)(x-1) ;
  • 2( x-1 ) 3x( x+1 ) = 2( x-1 ) ċ2x( x-1 ) 3x( x+1 ) ċ2x( x-1 ) = 4x ( x-1 ) 2 6 x 2 ( x+1 ) ( x-1 ) .

Ответ.  3( x-1 ) 6 x 2 ( x+1 ) ċ( x-1 ) ;  x 3 6 x 2 ( x+1 ) ( x-1 ) ;  4x ( x-1 ) 2 6 x 2 ( x+1 ) ( x-1 ) .

Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

 

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой: P Q + R Q = P+R Q , то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой: P Q - R Q = P-R Q , то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Упростите выражение x 2 x-1 - 1 x-1 .

x 2 x-1 - 1 x-1 = x 2 -1 x-1 = ( x+1 ) ( x-1 ) x-1 =x+1.

Ответ. x + 1.

Упростите выражение x-2 x 2 -x-6 - x+2 x 2 -5x+6 .

x-2 x 2 -x-6 - x+2 x 2 -5x+6 = x-2 ( x+2 ) ( x-3 ) - x+2 ( x-2 ) ( x-3 ) = ( x-2 ) 2 - ( x+2 ) 2 ( x+2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) = = ( x-2+x+2 ) ( x-2-x-2 ) ( x+2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) = 2xċ( -4 ) ( x+2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) = -8x ( x+2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) .

Ответ.  -8x ( x+2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) .

Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле: P Q ċ R T = PċR QċT . Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Деление. Частное двух дробей находится по следующей формуле: P Q : R T = PċT QċR . Другими словами, для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Упростите выражение x 2 -1 x 2 +x-6 : x 2 -4x+3 x 2 -4 .

x 2 -1 x 2 +x-6 : x 2 -4x+3 x 2 -4 = ( x 2 -1 ) ( x 2 -4 ) ( x 2 +x-6 ) ( x 2 -4x+3 ) = = ( x+1 ) ( x-1 ) ( x+2 ) ( x-2 ) ( x-2 ) ( x+3 ) ( x-1 ) ( x-3 ) = ( x+1 ) ( x+2 ) ( x+3 ) ( x-3 ) = x 2 +3x+2 x 2 -9 .

Ответ.  x 2 +3x+2 x 2 -9 .





 

У нас самые удобные автобусы в городе
rasvetperm.ru
© Физикон, 1999-2015