Учебник. Квадратный трёхчлен




Квадратный трёхчлен

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b, где a0 ,   a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.

Многочлен a x 2 +bx+c , где a0 ,   a, b, c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).

Многочлен a x 3 +b x 2 +cx+d , где a0 ,   a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0, где a n 0 ,   a k , k=0, 1, 2, ..., n − числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно a n называется старшим коэффициентом, а a 0 − свободным членом многочлена.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

Степенная функция

Действительное число a называется корнем многочлена Pn (x), если Pn (a) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: x=- b a . В самом деле: a( - b a ) +b=-b+b=0.

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена: a x 2 +bx+c === a0 a( x 2 +2ċ b 2a ċx+ ( b 2a ) 2 ) -aċ ( b 2a ) 2 +c=a ( x+ b 2a ) 2 - b 2 -4ac 4a . Выражение D = b2 – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0: a ( x+ b 2a ) 2 - D 4a =a( ( x+ b 2a ) 2 - D 4 a 2 ) =a( ( x+ b 2a ) 2 - ( D 2a ) 2 ) . Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

a( ( x+ b 2a ) 2 - ( D 2a ) 2 ) =a( x+ b 2a + D 2a ) ( x+ b 2a - D 2a ) =a( x- -b- D 2a ) ( x- -b+ D 2a ) .

Обозначим x 1 = -b+ D 2a и x 2 = -b- D 2a . Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Отсюда непосредственно видно, что числа x1 и x2 являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x 1 = -b+ D 2a и x 2 = -b- D 2a ,   D= b 2 -4ac , в том случае, если D ≥ 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Разложить на множители квадратный трехчлен x2 – 4x + 3.

1 способ. По формулам x 1 = -b+ D 2a и x 2 = -b- D 2a , где D= b 2 -4ac , найдём корни данной квадратичной функции: x 1 =1 и x 2 =3 . Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x - 3).

2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата. x2 – 4x + 3 = x2 – 4x + 4 – 1 = (x – 2)2 – 1 = (x – 2)2 – 12 = (x – 2 + 1)(x – 2 – 1) = (x – 1)(x – 3).

Ответ. (x – 1)(x – 3).

 

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение: a z 2 +bz+c=0,  a0 всегда имеет два комплексных корня: z 1,  2 = -b± D 2a .

Очевидно, что при условии, что a, b, c – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть:

  • два различных действительных числа;
  • одно действительное число;
  • сопряженные комплексные числа.

Решите уравнение z 2 +2z+17=0.

Вычисляем дискриминант: D= 2 2 -4ċ17=4( 1-17 ) =4ċ( -16 ) =- 8 2 = ( 8i ) 2 .

Формула корней даёт: z 1 = -2+8i 2 =-1+4i,  z 2 = -2-8i 2 =-1-4i.

Ответ.  -1±4i .

Для того чтобы установить одну важную теорему, касающуюся квадратного трехчлена, вычислим следующие комбинации корней этой функции: x 1 + x 2 = -b+ D 2a + -b- D 2a = -b+ D -b- D 2a =- 2b 2a =- b a , x 1 x 2 =( -b+ D 2a ) ( -b- D 2a ) = ( -b+ D ) ( -b- D ) 4 a 2 = b 2 -D 4 a 2 = b 2 - b 2 +4ac 4 a 2 = 4ac 4 a 2 = c a .

Итак, нами доказана следующая теорема, принадлежащая великому французскому математику Виету.

Если квадратный трёхчлен a x 2 +bx+c , где a0 , имеет корни, то справедливы следующие соотношения: x 1 + x 2 =- b a , x 1 x 2 = c a .

Пусть x 1 и x 2 − корни квадратичной функции x 2 +px+q=0 . Найти, чему равно значение выражения x 1 x 2 + x 2 x 1 .

Так как x1 и x2 − корни квадратичной функции x2 + px + q = 0, то справедливы соотношения: x 1 + x 2 =-p, x 1 x 2 =q. Тогда имеем: x 1 x 2 + x 2 x 1 = x 1 2 + x 2 2 x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 x 2 x 1 x 2 = ( -p ) 2 -2q q = p 2 -2q q = p 2 q -2.

Ответ.  p 2 q -2.





 

Резка бетона цена
Проемы, отверстия. Выполним в срок! Ищешь мастеров? Оперативно. Цена
almaz-rez.spb.ru
© Физикон, 1999-2015