Открытая Математика. Алгебра. Квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b, где $a \neq 0,$ a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.

Многочлен $a x^{2} + b x + c,$ где $a \neq 0,$ a, b, c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).

Многочлен $a x^{3} + b x^{2} + c x + d,$ где $a \neq 0,$ a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен P_n(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + ... + a₁x + a₀, где $a_{n} \neq 0,$ $a_{k}, k = 0, 1, 2, ..., n$ − числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно $a_{n}$ называется старшим коэффициентом, а $a_{0}$ − свободным членом многочлена.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

Степенная функция

Действительное число a называется корнем многочлена P_n (x), если P_n (a) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: $x = - \frac{b}{a} .$ В самом деле: $a (- \frac{b}{a}) + b = - b + b = 0.$

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена: $a x^{2} + b x + c \overset{a \neq 0}{===} a (x^{2} + 2 ċ \frac{b}{2 a} ċ x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) - a ċ {(\frac{b}{2 a})}^{2} + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} .$ Выражение D = b² – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0: $a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{D}{4 a} = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{D}{4 a^{2}}) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{D}}{2 a})}^{2}) .$ Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

$a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{D}}{2 a})}^{2}) = a (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{D}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{D}}{2 a}) = a (x - \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}) (x - \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}) .$

Обозначим $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$ и $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} .$ Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂). Отсюда непосредственно видно, что числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного трехчлена ax² + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), где $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$ и $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a},$ $D = b^{2} - 4 a c,$ в том случае, если D ≥ 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax² + bx + c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Разложить на множители квадратный трехчлен x² – 4x + 3.

1 способ. По формулам $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$ и $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a},$ где $D = b^{2} - 4 a c,$ найдём корни данной квадратичной функции: $x_{1} = 1$ и $x_{2} = 3 .$ Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: x² – 4x + 3 = (x – 1)(x - 3).

2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата. x² – 4x + 3 = x² – 4x + 4 – 1 = (x – 2)² – 1 = (x – 2)² – 1² = (x – 2 + 1)(x – 2 – 1) = (x – 1)(x – 3).

Ответ. (x – 1)(x – 3).

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение: $a z^{2} + b z + c = 0, a \neq 0$ всегда имеет два комплексных корня: $z_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} .$

Очевидно, что при условии, что a, b, c – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть:

два различных действительных числа;
одно действительное число;
сопряженные комплексные числа.

Решите уравнение $z^{2} + 2 z + 17 = 0.$

Вычисляем дискриминант: $D = 2^{2} - 4 ċ 17 = 4 (1 - 17) = 4 ċ (- 16) = - 8^{2} = {(8 i)}^{2} .$

Формула корней даёт: $z_{1} = \frac{- 2 + 8 i}{2} = - 1 + 4 i, z_{2} = \frac{- 2 - 8 i}{2} = - 1 - 4 i .$

Ответ. $- 1 \pm 4 i .$

Для того чтобы установить одну важную теорему, касающуюся квадратного трехчлена, вычислим следующие комбинации корней этой функции: $x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} = - \frac{2 b}{2 a} = - \frac{b}{a},$ $x_{1} x_{2} = (\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}) (\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}) = \frac{(- b + \sqrt{D}) (- b - \sqrt{D})}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} .$

Итак, нами доказана следующая теорема, принадлежащая великому французскому математику Виету.

Если квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c,$ где $a \neq 0,$ имеет корни, то справедливы следующие соотношения: $\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} . \end{array}$

Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ − корни квадратичной функции $x^{2} + p x + q = 0 .$ Найти, чему равно значение выражения $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} .$

Так как x₁ и x₂ − корни квадратичной функции x² + px + q = 0, то справедливы соотношения: $\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - p, \\ x_{1} x_{2} = q . \end{array}$ Тогда имеем: $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{{(- p)}^{2} - 2 q}{q} = \frac{p^{2} - 2 q}{q} = \frac{p^{2}}{q} - 2.$

Ответ. $\frac{p^{2}}{q} - 2.$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Квадратный трёхчлен

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ