Учебник. Операции над комплексными числами




Операции над комплексными числами

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

  1. Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1 для любых z 1 z 2  ∈ ℂ.
  2. Ассоциативность сложения: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) для любых z 1 ,  z 2 ℂ.
  3. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z + 0 = z для любого ∈ ℂ.
  4. Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.
  5. Коммутативность умножения: z1z2 = z2z1 для любых z 1 z 2  ∈ ℂ.
  6. Ассоциативность умножения: (z1z2)z3 = z1(z2z3) для любых z 1 z 2 z 3  ∈ ℂ.
  7. Дистрибутивность сложения относительно умножения: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 для любых z 1 z 2 z 3  ∈ ℂ.
  8. Для любого комплексного числа z: z ċ 1 = z.
  9. Для любых двух чисел z 1 и z 2 существует такое число z, что z 1 ċz= z 2 . Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается z= z 2 z 1 . Деление на 0 невозможно.

Все указанные свойства доказываются с помощью определения операций сложения и умножения.

Сложение и вычитание комплексных чисел Умножение и деление комплексных чисел

 

Если число z = a + bi, то число z ¯ =a-ib называется комплексно сопряжённым с числом z.

Комплексно сопряжённые числа

Комплексно сопряжённое число обозначается z ¯ . Для этого числа справедливы соотношения: | z |=| z ¯ |= a 2 + b 2 ; z z ¯ =( a+bi ) ( a-bi ) = a 2 + b 2 = | z | 2 = | z ¯ | 2 ; z 1 z 2 = z 1 z ¯ 2 z 2 z ¯ 2 = z 1 z ¯ 2 | z 2 | 2 ,  z 2 0. Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению z 1  на  z ¯ 2 и последующему делению на действительное число | z 2 | 2 .

Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).

Имеем z=( 1+2i ) ( 3-4i ) =3+8+( 6-4 ) i=11+2i .

Следовательно, z ¯ =11-2i .

Ответ. 11 – 2i.

Вычислите 1+2i 2-i .

Имеем 1+2i 2-i = 1+2i 2-i ċ 2+i 2+i = 2-2+i( 4+1 ) 4+1 = 5i 5 =i.

Ответ. i.




 

© Физикон, 1999-2015