Учебник. Обыкновенные дроби




Обыкновенные дроби

Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби.

Обыкновенной дробью называется число вида m n , где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n – её знаменателем.

Если n = 1, то дробь имеет вид m 1 , и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Две дроби a b и c d называются равными, если ad=bc .

Например, 2 3 = 8 12 , так как 2ċ12=3ċ8. Из этого определения следует, что дробь a b равна любой дроби вида am bm , где m – натуральное число. В самом деле, так как aċbm=bċam, то a b = am bm .   Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, 8 12 = 4 6 = 2 3 (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, 4 5 – несократимая дробь.

Сокращение обыкновенных дробей

 

Обыкновенная дробь m n называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя, то есть m < n. Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше её знаменателя, то есть m > n.

Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

 

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, 3 7 < 5 7 5 8 < 6 8 . Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, 1 2 > 1 5 3 8 < 3 4 . Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Сравнение обыкновенных дробей Пусть, например, даны две дроби 3 4  и  5 7 . Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим 3 4 = 21 28 . Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим 5 7 = 20 28 . Итак, две дроби 3 4 и 5 7 приведены к общему знаменателю: 3 4 = 21 28  и  5 7 = 20 28 .

Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит, 21 28 > 20 28 . Следовательно, 3 4 > 5 7 . Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби 3 4  и  5 7 можно привести к знаменателю 56. В самом деле: 3 4 = 3ċ14 4ċ14 = 42 56 5 7 = 5ċ8 7ċ8 = 40 56 . Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю: 12 15  и  7 20 .

Найдём сперва наименьшее общее кратное чисел 15 и 20. НОК (15, 20) = 60.

Так как 60 : 15 = 4, то числитель и знаменатель дроби 12 15 нужно умножить на 4: 12 15 = 12ċ4 15ċ4 = 48 60 . Поскольку 60 : 20 = 3, то числитель и знаменатель второй дроби нужно умножить на 3: 7 20 = 7ċ3 20ċ3 = 21 60 . Итак, дроби приведены к общему знаменателю: 12 15 = 48 60  и  7 20 = 21 60 . Ответ.  12 15 = 48 60 7 20 = 21 60 .

В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.

 

Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.

Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть a b + c b = a+c b . Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.

Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то a b - c b = a-c b . Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть a b ċ c d = ac bd . Например, 2 3 ċ 4 7 = 2ċ4 3ċ7 = 8 21 .

Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом: a b : c d = ad bc . Например, 3 5 : 2 7 = 3ċ7 5ċ2 = 21 10 .

В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.

Умножение и деление обыкновенных дробей

Сложить две дроби 3 7 и 5 7 . Ответ представить в виде неправильной дроби.

Имеем:
3 7 + 5 7 = 3+5 7 = 8 7 .

Ответ.  8 7 .

Сложить две дроби 12 15 и 7 20 . Ответ представить в виде неправильной дроби.

Имеем:
12 15 + 7 20 = 48 60 + 21 60 = 48+21 60 = 69 60 .

Ответ.  69 60 .

Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь m n такова, что число m кратно n, например, 12 3 =4 ).

Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: 1) 25 7 2) 37 12

Имеем:
1) 25 7 = 21+4 7 = 21 7 + 4 7 =3+ 4 7 .

2) 37 12 = 36+1 12 = 36 12 + 1 12 =3+ 1 12 .

Обычно сумму натурального числа и правильной дроби пишут без знака сложения, то есть вместо 3+ 4 7 пишут просто 3 4 7 . Неправильная дробь, записанная в такой форме, называется смешанным числом. Говорят, что целая часть этого числа равна 3, а дробная – 4 7 .

Ответ.  3 4 7 3 1 12 .

Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например, 4 3 5 =4+ 3 5 = 20 5 + 3 5 = 20+3 5 = 23 5 .

Выполнить действия. 1) 4 1 3 -2 3 4 ; 2) 3 2 3 ċ4 1 5 ; 3) 3 2 3 :4 1 5 .

Имеем:

  1. 4 1 3 -2 3 4 =4+ 1 3 -( 2+ 3 4 ) =4+ 1 3 -2- 3 4 =( 4-2 ) + 1 3 - 3 4 =2+ 4-9 12 = =2- 5 12 =1+ 12 12 - 5 12 =1+ 12-5 12 =1+ 7 12 =1 7 12 .
  2. 3 2 3 ċ4 1 5 =( 3+ 2 3 ) ċ( 4+ 1 5 ) = 11 3 ċ 21 5 = 231 15 = 225+6 15 =15 6 15 .
  3. 3 2 3 :4 1 5 = 11 3 : 21 5 = 11 3 ċ 5 21 = 55 63 .

Ответ.  1) 1 7 12 2) 15 6 15 3)  55 63 .





 

Удостоверение допог нового образца купить
Образцы Новых найди в нашей базе образцов с удобным поиском
dopog-dopog.com
© Физикон, 1999-2015