Учебник. Системы счисления




Системы счисления

Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе. Непозиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа не зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе, и всегда одно и то же.

В процессе развития человеческой цивилизации люди использовали различные системы счисления, однако самой удобной для практических нужд оказалась десятичная система счисления. Разумеется, во многом это было связано с физиологическими особенностями человеческого тела; в самом деле, ведь у человека на руках десять пальцев. Конечно же, не нужно думать, что другие системы счисления совсем не используются. Например, для различных машинных вычислений необыкновенно эффективны вычисления в двоичной системе счисления. Познакомимся же с принципом записи числа в позиционной системе счисления.

В разное время арабские цифры выглядели по-разному

Любое натуральное число n может быть представлено в q-ичной системе счисления: n= a k q k + a k-1 q k-1 +...+ a 1 q+ a 0 , где q – основание системы счисления, a0, a1, ..., ak – числа, равные 0, 1, ..., q – 1, причём ak ≠ 0.

В частности, десятичная система счисления основана на представлении чисел в виде: n= a k 10 k + a k-1 10 k-1 +...+ a 1 10+ a 0 , где a0, a1, ..., ak – числа от 0 до 9, причём ak ≠ 0. Если справедливо последнее соотношение, то число n записывают коротко так: n= ( a k a k-1 ... a 0 ) 10 или просто n=( a k a k-1 ... a 0 ) = a k a k-1 ... a 0 ¯ . Две последние записи обозначают одно и тоже и применяются одинаково часто.

 

Для того, чтобы перевести число, записанное в q-ичной системе счисления, в десятичную систему счисления, нужно просто провести все вычисления в формуле (1). Для того, чтобы перевести число из десятичной системы счисления в q-ичную, можно попытаться представить его в виде (1).

Записать число 132 в 1) троичной; 2) пятеричной; 3) семеричной; 4) двенадцатеричной.

  1. 132 = 81 + 27 + 2 ċ 9 + 2 ċ 3 = 1 ċ 34 + 1 ċ 33 + 2 ċ 32 + 2 ċ 31 + 0 = (11220)3.
  2. 132 = 1 ċ 53 + 0 ċ 52 + 1 ċ 5 + 2 = (1012)5.
  3. 132 = 2 ċ 72 + 4 ċ 7 + 6 = (246)7.
  4. 132=11ċ12+0= ( B 0 ) 12 .
В том случае, если основание системы больше 10, в качестве «дополнительных цифр» используются буквы.

Так, буква B последнем примере обозначает цифру «11» в двенадцатеричной системе счисления.

Ответ. 1) (11220)3, 2) (1012)5, 3) (246)7, 4) (B0)12

Для того чтобы перевести число, записанное в десятичной системе, в любую q-ичную систему счисления, можно использовать следующее наблюдение. Перепишем формулу (1) в виде: n=( a k q k-1 + a k-1 q k-2 +...+ a 1 ) q+ a 0 = n 1 q+ a 0 . Отсюда следует, что a0 есть остаток от деления числа n на q. Совершенно аналогично, a1 есть остаток от деления числа n 1 = a k q k-1 + a k-1 q k-2 +...+ a 1 на q. Понятно, что так можно найти все числа ak.

Записать число 4784 в восьмеричной системе счисления.


Перевод числа 4784 в восьмеричную систему счисления
Ответ.  4784= ( 11260 ) 8 .




 

Бензиновые электрогенераторы
В продаже - Бензиновый, низкие цены! Невостребованные остатки
tss.ru
© Физикон, 1999-2015