Учебник. Уравнение плоскости




Уравнение плоскости

Рассмотрим произвольную точку M( x 0 y 0 z 0 ) в пространстве и некоторый вектор n ( abc ) . Очевидно, что геометрическим местом точек A( xyz ) таких, что вектор MA перпендикулярен вектору n , будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор n является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения: MA n ( MA n ) =0.

Запишем последнее равенство в координатах: ( x- x 0 ) ċa+( y- y 0 ) ċb+( z- z 0 ) ċc=0.

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду ax+by+cz-( a x 0 +b y 0 +c z 0 ) =0.

Обозначая d= -( a x 0 +b y 0 +c z 0 ) , получим ax+by+cz+d=0.   (1)

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

Вектор n ( abc ) называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).

Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

Рассмотрим плоскость 3x + 2y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A(2; 0; 0). Точка B(0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C(0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение x a + y b + z c =1 называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Эта плоскость пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Плоскость, изображенная на чертеже 9.7.1, имеет такое уравнение в отрезках на осях: x 2 + y 3 + z 6 =1.





 

Химчистка мягкой мебели москва
Эксклюзивная химчистка. Адреса приемных пунктов в округах Москвы
eco-hyla.ru
© Физикон, 1999-2015