Учебник. Декартовы координаты в пространстве




Декартовы координаты в пространстве

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке O (чертёж 9.3.1).

Декартовы координаты в пространстве

Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые x и y, называется плоскостью xy. Две другие плоскости называются, соответственно, плоскостями xz и yz.


Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xy, xz и yz – координатными плоскостями. Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.


Рассмотрим теперь произвольную точку A и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости yz (чертёж 9.3.2).

Координаты точки

Пусть эта плоскость пересекает ось x в некоторой точке Ax.


Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.


Если же точка Ax совпадет точкой O, то полагаем по определению, что x = 0. Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Зададим теперь в пространстве прямоугольную систему координат.


Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i ; единичный вектор, направленный вдоль оси y – j ; вдоль оси z – k . Вектора i ,    j ,    k называются координатными векторами.


По своему построению эти векторы некомпланарны, а значит, любой вектор a можно разложить по координатным векторам:

a =x i +y j +z k .

Кроме того, отметим, что по уже доказанному коэффициенты разложения определяются единственным образом. Эти коэффициенты и называются координатами вектора  a в данной системе координат.

Следующие утверждения доказываются аналогично их планиметрическим аналогам.


  • Координаты нулевого вектора равны нулю.
  • Координаты равных векторов соответственно равны.
    Пусть a ( a 1 a 2 a 3 ) ,    b ( b 1 b 2 b 3 ) ,
    тогда
    a = b { a 1 = b 1 ; a 2 = b 2 ; a 3 = b 3 .
  • Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
    Пусть a ( a 1 a 2 a 3 ) ,    b ( b 1 b 2 b 3 ) ,  тогда
    a + b = c ( a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ) .
  • Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.
    Пусть a ( a 1 a 2 a 3 ) ,    b ( b 1 b 2 b 3 ) ,  тогда
    a - b = c ( a 1 - b 1 a 2 - b 2 a 3 - b 3 ) .
  • Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.
    Пусть a ( a 1 a 2 a 3 ) ,    λR ,  тогда
    λ a = c ( λ a 1 λ a 2 λ a 3 ) .




 

pmi сертификация http://pmpractice.ru .
pmpractice.ru
© Физикон, 1999–2015