Учебник. Правильный тетраэдр




Правильный тетраэдр

Применение формул последнего параграфа к правильному тетраэдру позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом параграфе мы приведём полученные формулы для данного конкретного случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик правильного тетраэдра, таких как, например, объём, площадь полной поверхности и т. п.

Следуя обозначениям предыдущего параграфа, рассмотрим правильный тетраэдр SA1A2A3 с длиной ребра a. Обозначения для его углов оставим теми же и вычислим их.

В правильном треугольнике A 1 A 2 A 3 длина высоты равна A 3 B=a 3 2 . Так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Несложно найти и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка O – центр правильного треугольника A 1 A 2 A 3 . Основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки S, также проектируется в точку O. Значит, BO= 1 3 A 3 B= a 2 3 . В правильном треугольнике S A 1 A 2 длина апофемы тетраэдра равна SB=a 3 2 . Применим теорему Пифагора для Δ SBO:

S O 2 =S B 2 -B O 2 .

Отсюда

S O 2 = ( a 3 2 ) 2 - ( a 2 3 ) 2 =a2( 3 4 - 1 12 ) = 2 3 a2 .

Таким образом, высота правильного тетраэдра равна

SO=a 2 3 .

Площадь правильного треугольника – основания тетраэдра –

S A 1 A 2 A 3 = 3 4 a 2 .

Значит, объём правильного тетраэдра равен

V= 1 3 S A 1 A 2 A 3 SO= 1 3 3 4 a 2 a 2 3 = a 3 2 12 .
V= a 3 2 12 .

Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его основания:

S полн = a 2 3 .

Двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

cosδ=cosβ= BO BS = a 1 2 3 a 3 2 = 1 3 .
cosδ=cosβ= 1 3 ;
sinδ=sinβ= 2 2 3 .

Плоский угол при вершине правильного тетраэдра равен γ= 60 .

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти из Δ SO A 2 :  

sinα= SO S A 2 = 2 3 .
sinα= 2 3 ;
cosα= 1 3 ;
tgα= 2 .

Радиус вписанной сферы для правильного тетраэдра можно найти по известной формуле

r= 3V S полн ,

связывающей его с объёмом и площадью полной поверхности тетраэдра (отметим, что последняя формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу). В нашем случае имеем

r= 3 a 3 2 12 a 2 3 = a 2 6 :
r= a 2 6 .

Найдём радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на его высоте, так как именно прямая SO перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр, а на этой прямой должна лежать точка, равноудаленная от всех вершин основания тетраэдра. Пусть это точка O 1 ,

тогда

O 1 S= O 1 A 2 =R.

Имеем

O O 1 =a 2 3 -R.

Применим теорему Пифагора к треугольникам B A 2 O 1 и B O 1 O:

R 2 = A 2 O 1 2 =B A 2 2 +B O 1 2 = ( a 2 ) 2 +B O 2 +O O 1 2 = ( a 2 ) 2 + ( a 2 3 ) 2 + ( a 2 3 -R ) 2 ,
R 2 = ( a 2 ) 2 + ( a 2 3 ) 2 + ( a 2 3 -R ) 2 = a 2 4 + a 2 12 + 2 3 a 2 -2aR 2 3 + R 2 ,
2aR 2 3 = a 2 ( 1 4 + 1 12 + 2 3 ) = a 2 R= a 6 4 ,
R= a 6 4 .

Отметим, что

R = 3r,
r + R = H.

Если H=SO=a 2 3 , то r= 1 4 H=a 1 4 2 3 = a 2 6 .

Интересно вычислить A 1 O 1 A 2 , то есть тот угол, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. Найдём его:

sin ∠ B O 1 A 2 = B A 2 O 1 A 2 = a 2 a 6 4 = 2 3 ,
cos ∠  A 1 O 1 A 2 =1-2  sin 2  ∠ B O 1 A 2 =1-2 2 3 =- 1 3 .

Значит,

A 1 O 1 A 2 =arccos( - 1 3 ) 109 28'.

Это знакомая нам величина из курса химии: это угол между связями С–Н в молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН4, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.





 

© Физикон, 1999-2015