Учебник. Правильная n-угольная пирамида




Правильная n-угольная пирамида

Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. Этот многогранник часто встречается в стереометрических задачах, и поэтому более подробное и тщательное изучение его свойств представляет большой интерес. В этом параграфе мы несколько расширим тот арсенал формул, который нами был получен ранее. Запоминать формулы, которые будут выведены в этом параграфе, нет необходимости. Гораздо важнее понять, как они получаются, и научиться применять аналогичные выводы в конкретных задачах.

Итак, пусть SA1A2 … An – правильная n-угольная пирамида (рис. 8.4.1). Введем следующие обозначения:

  • α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

  • β – двугранный угол при основании;

  • γ – плоский угол при вершине;

  • δ – двугранный угол при боковом ребре.

Пусть O – центр основания пирамиды, B – середина ребра A 1 A 2 ,  D – точка пересечения отрезков A 1 A 3 и O A 2 ,  C – точка на боковом ребре S A 2 такая, что A 1 CS A 2 ,  E – точка пересечения отрезков SB и A 1 C,  K – точка пересечения отрезков A 1 A 3 и OB. Пусть A 1 O A 2 =φ= 2π n .

Несложно показать, что S A 1 O=α ,   SBO=β ,   A 1 C A 3 =δ ,   A 2 A 1 A 3 = φ 2 .

Обозначим также через H высоту пирамиды, апофему – через m, боковое ребро – через l, сторону основания – через a, а через r и R – радиусы окружностей, вписанной в основание и описанной около него.

tgα=cos π n ċtgβ .

Из Δ S A 1 O находим, что H = R ċ tg α. Из Δ SBO находим, что H = r ċ tg β. Значит, R ċ tg α = r ċ tg β. Кроме того, из Δ  A 1 OB следует, что r=Rcos φ 2 , откуда и получается доказываемая формула.

cosα= sin γ 2 sin n 2 .

Из Δ  A 1 SB находим, что l= a 2sin γ 2 , а из Δ S A 1 O l= R cosα . Остается заметить, что из Δ  A 1 OB следует, что R= a 2sin π n , и приравнять полученные выражения для l.

sinα=ctg π n ċctg δ 2 .

Из треугольников CD A 1 и CD A 2 получаем, что CD= A 1 Dctg δ 2 и CD= A 2 Dsinα . Но A 1 D=acos φ 2 ,   A 2 D=asin φ 2 . Приравнивая правые части выражений для CB, получим требуемую формулу.

cosβ=ctg π n ċtg γ 2 .

Из треугольников SBO и SB A 1 найдем m: m= r cosβ и m= a 2tg γ 2 . Значит 2rċtg γ 2 =acosβ . Из Δ  A 1 OB найдем 2r=aċctg φ 2 . Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к доказываемой формуле.

cos γ 2 = cos π n sin δ 2 .

Заметим, что C A 1 A 2 = γ 2 . Это позволяет из треугольников C A 1 A 2 и C A 1 D получить выражение для C A 1 двумя способами: C A 1 =acos γ 2 ;   C A 1 = A 1 D sin δ 2 . Отсюда следует, что acos γ 2 = A 1 D sin δ 2 . Несложно доказать, что A 1 CO A 2 , и тогда из прямоугольного треугольника O A 1 D следует, что A 1 D=acos φ 2 . Подстановка этого выражения в предыдущее равенство и приводит к доказываемой формуле.

sinβ= cos δ 2 sin π n .

SB A 1 A 2 , так как SB – апофема боковой грани S A 1 A 2 .   SO A 1 A 2 , поскольку высота пирамиды перпендикулярна любой прямой в основании пирамиды. Значит, в плоскости SBO нашлись две прямые SO и SB, перпендикулярные прямой A 1 A 2 в плоскости S A 1 A 2 . Следовательно, плоскости S A 1 A 2 и SBO перпендикулярны. Так как A 1 C A 3 – линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды по построению, то и плоскость A 1 C A 3 перпендикулярна плоскости S A 1 A 2 . Значит, прямая пересечения плоскостей A 1 C A 3 и SBO – это прямая KE – перпендикулярна плоскости S A 1 A 2 . Имеем: A 1 KE= π 2 -K A 1 E= π 2 -( π 2 - A 1 CD ) = A 1 CD= δ 2 . Из Δ KEB по определению находим sinβ= KE KB . Далее заметим, что из Δ KE A 1 получается KE=K A 1 cos δ 2 , а из Δ KB A 1 :   KB=K A 1 sin φ 2 . Подстановка двух последних выражений в отношение для синуса угла β, полученное из Δ KEB, приводит нас к доказываемой формуле.





 

Купить химикаты ростов
купить химикаты ростов
aeroterra.ru
© Физикон, 1999-2015