Учебник. Определение правильного многогранника




Определение правильного многогранника

Среди плоских многоугольников особое место занимают правильные многоугольники. Как известно, для любого натурального n на плоскости существует правильный n-угольник. Естественно задаться вопросом, имеет ли место подобный факт в пространстве? Существуют ли «правильные многогранники», и что это такое?

Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников.

Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называют платоновыми телами.

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. Докажем это, а затем предъявим каждый из них, доказав тем самым их существование.

Рассмотрим многогранный угол с вершиной S, у которого равны все плоские и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A1, A2, …, An так, что SA1 = SA2 = … = SAn. Тогда точки A1, A2, …, An лежат в одной плоскости и являются вершинами правильного n-угольника.

Докажем, что любые идущие подряд точки лежат в одной плоскости. Рассмотрим четыре подряд идущие точки A1, A2, A3 и A4. Пирамиды SA1A2A3 и SA2A3A4 равны, поскольку их можно совместить, совместив ребра SA2 и SA3 (берутся, разумеется, ребра разных пирамид) и двугранные углы при этих ребрах. Аналогично можно показать, что равны пирамиды SA1A3A4 и SA1A2A4, поскольку все их ребра равны. Отсюда следует равенство V S A 1 A 2 A 3 + V S A 1 A 3 A 4 = V S A 2 A 3 A 4 + V S A 1 A 2 A 4 .

Из последнего равенства следует, что объем пирамиды A1A2A3A4 равен нулю, то есть указанные четыре точки лежат в одной плоскости. Значит, все n точек лежат в одной плоскости, и в n-угольнике A1A2 … An равны все стороны и углы. Значит, он правильный, и лемма доказана.

Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A1, и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.

Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.

Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно пять, предъявив все пять видов многогранников.





 

© Физикон, 1999-2015