Учебник. Площадь поверхности сферического пояса




Площадь поверхности сферического пояса

Сферическим поясом называется часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу. Расстояние между этими плоскостями называется высотой сферического пояса. Если одна из этих плоскостей касается сферы, то получается тело, которое называется сферическим сегментом.

Для определения площади боковой поверхности докажем несколько лемм.

Площадь части боковой поверхности правильной пирамиды, заключенной между двумя пересекающими ее плоскостями, параллельными основанию этой пирамиды, может быть найдена по формуле S=( p 1 + p 2 ) d, где p1 и p2 – полупериметры многоугольников, по которым рассматриваемые плоскости пересекают эту пирамиду, d – расстояние между сторонами этих многоугольников, лежащих в одной боковой грани пирамиды.

Доказательство этого факта получается непосредственно из формулы площади трапеции, поскольку рассматриваемая часть боковой поверхности состоит из равных трапеций.

Площадь части боковой поверхности конуса, заключенной между двумя пересекающими его плоскостями, параллельными основанию, может быть найдена по формуле S=π( r 1 + r 2 ) d, где r1 и r2 – радиусы сечений, d – длина части образующей, заключенной между плоскостями.

Доказываемая формула получается из предыдущей предельным переходом аналогично тому, как мы получали формулу объема конуса из формулы объема пирамиды.

Пусть прямая m и отрезок AB лежат в одной плоскости, не перпендикулярны и не пересекаются. Пусть h – длина проекции AB на прямую m, L – длина отрезка серединного перпендикуляра к AB, заключенного между AB и m. Тогда площадь поверхности, полученной в результате вращения AB вокруг прямой m, может быть найдена по формуле S=2πLh .

Поверхность, которая получится при вращении такого отрезка, очевидно, представляет собой часть боковой поверхности конуса, которую мы рассматривали в Лемме 7.2.

Пусть A1 и B1 – проекции A и B на m, N – середина AB, MN – отрезок серединного перпендикуляра к AB. Точка M расположена на прямой m; N1 – проекция N на m; B2 – проекция A на BB1. Согласно обозначениям, введенным в условии теоремы, A1B1 = AB2 = h, MN = L, NN1 равна средней линии трапеции AA1B1B, AA1 + BB1 = 2NN1. Согласно предыдущей лемме имеем S = π ċ (AA1 + BB1) ċ AB = 2π ċ AB ċ NN1.

Треугольники BA B 2 и MN N 1 подобны, откуда получаем, что N N 1 A B 2 = NM AB , откуда N N 1 ċAB=A B 2 ċNM . Итак, имеем S = 2πAB2 ċ NM = 2πLh, что и требовалось доказать.

Площадь поверхности сферического пояса может быть найдена по формуле S = 2πRh, где R – радиус сферы, h – высота сферического пояса.

Рассмотрим в данной сфере диаметр PQ, перпендикулярный плоскостям, ограничивающим данный сферический пояс, и возьмем сечение сферы плоскостью, проходящей через PQ. Тогда сечением сферического пояса будут две дуги, симметричные относительно PQ. Длина проекции каждой из этих дуг на PQ равна h. Сам же сферический пояс получается в результате вращения какой-либо из этих дуг, например, CD, вокруг прямой PQ.

Разобьем дугу CD на n равных частей и соединим их последовательно друг за другом. Получится равнозвенная ломаная, вписанная в эту дугу. Пусть O – центр сферы. Пусть также Ln – расстояние от центра сферы до звеньев ломаной; так как все звенья равны, то они все равноудалены от центра сферы. При вращении ломаной вокруг PQ получим поверхность, составленную из частей конических поверхностей. Применим теперь к каждой части формулу предыдущей леммы и сложим найденные значения. Тогда для площади поверхности, образовавшейся в результате вращения ломаной, справедлива формула S n =2π L n h.

Очевидно, что с возрастанием n величина Ln стремится к R. Принимая за площадь поверхности сферического пояса величину, к которой стремится Sn, получим искомую формулу.

Отметим, что полученная формула действительно дает правильное значение площади поверхности сферического пояса, поскольку с ростом числа звеньев ломаной, вписанной в нашу дугу окружности, касательные плоскости к поверхности, возникающей в результате вращения этой ломаной, приближаются к касательным плоскостям сферического пояса.

Отметим также, что по этой же самой формуле может быть найдена площадь поверхности сферического сегмента. Этот случай отвечает той ситуации, когда одна из плоскостей касается сферы. Если же в полученной формуле положить h = 2R (обе плоскости касаются сферы), то получим, как и ожидалось, формулу площади сферы Sсф = 4πR2.





 

© Физикон, 1999-2015