Учебник. Объем частей шара




Объём частей шара

Шаровым сегментом называется часть шара, отсечённая от него плоскостью. Если OP – радиус шара, перпендикулярый отсекающей плоскости, то точку P назовём в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок PO1, соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное вращением кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде. Формулу объема шарового сегмента выводят так же, как и формулу объема шара, но интегрируют на промежутке (0; H) (H – высота шарового сегмента): V=π 0 H ( 2Rx- x 2 ) dx =π( R x 2 - x 3 3 ) |   H 0   = π( R H 2 - 1 3 H 3 ) .

Следовательно, объем шарового сегмента равен V= 1 3 π H 2 ( 3R-H ) .

Шаровым сектором называется тело, образованное вращением кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента V1 и конуса V2: V = V1 + V2. Высота P1O1 шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем V 1 = 1 3 π H 2 ( 3R-H ) , V 2 = 1 3 π r 2 ( R-H ) ,

где r – радиус конуса. Пусть P1, P2 – полюса шара, O1A = r. Из прямоугольного треугольника P1AP2 находим r2 = H (2R–H), следовательно, V 2 = 1 3 πH ( 2R-H )  ( R-H ) .

Объем шарового сектора V= 1 3 π H 2  ( 3R-H ) + 1 3 πH ( 2R-H )  ( R-H ) = 2 3 π R 2 H, или V= 2 3 π R 2 H .





 

© Физикон, 1999-2015