Учебник. Вычисление объемов тел вращения




Вычисление объемов тел вращения

Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности, вычислим объем шара и его частей.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf 2 (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Объем тела вращения равен V= a b ( x ) dx =π a b f 2 ( x ) dx .

Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост объема тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда ( x ) < ΔV Δx < ( x+Δx ) .

Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция ( x ) =π f 2 ( x ) , следовательно, lim Δx0 ( x+Δx ) = ( x ) .

Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем lim Δx0 ΔV Δx = ( x ) , то есть V' (x) = S (x).

Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем V=( b ) -( a ) = a b ( x ) dx =π a b f 2  ( x ) dx .

Объем шара равен V= 4 3 π R 3 , где R – радиус шара.

На рис. 7.2.3 изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R; 0). Уравнение окружности этого круга ( x-R ) 2 + y 2 = R 2 , откуда y 2 =2Rx- x 2 . Функция y= 2Rx- x 2 ,   x[0 R] , непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно, для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар. Следовательно, 1 2 V=π 0 R ( 2Rx- x 2 ) dx =π( R x 2 - x 3 3 ) |   R 0   = 2 3 π R 3 , откуда V= 4 3 π R 3 .

Заметим, что формула для объема шара следует из формулы для объема шарового сегмента при H = 2R.

В качестве тренировки докажите, что объем эллипсоида, задаваемого уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 =1, определяется формулой V= 4 3 πabc .





 

Volcano VR1 EC
Volcano VR1 EC
volcano-pro.ru
© Физикон, 1999-2015