Учебник. Объем цилиндра и конуса




Объем цилиндра и конуса

Найдем объем цилиндра, конуса и усеченного конуса. Пусть H – высота, R – радиус цилиндра или конуса.

Объемы цилиндра и конуса равны соответственно V ц =π R 2 H , V к = 1 3 π R 2 H .

Для доказательства впишем в данный цилиндр правильную n-угольную призму. С возрастанием n объем этой призмы будет стремиться к объему цилиндра. Объем призмы, как известно, находится по формуле V= S осн h, где S осн – площадь основания призмы. С возрастанием n площадь основания призмы стремится к площади круга – основания цилиндра. Значит, выражая площадь основания цилиндра через его радиус, получаем, что V ц =π R 2 H . Вторая формула получается аналогично, если в данный конус вписывать правильные n-угольные пирамиды и устремлять n к бесконечности.

Объем любого цилиндра можно найти по формуле V= S осн h.

Объем любого конуса можно найти по формуле V= 1 3 S осн h.

Объем усеченного конуса равен V= 1 3 πH( R 2 +Rr+ r 2 ) , где R и r – радиусы оснований усеченного конуса.

Объем усеченного конуса может быть найден как разность объемов конусов с радиусами оснований R и r, общей вершиной и осью. Пусть высоты конусов равны H 1 и H 2 соответственно, причем H 1 - H 2 =H – высота усеченного конуса. Вывод этой формулы получается из следующей цепочки равенств с учетом того, что из подобия следует H 1 H 2 = R r . H 1 =H+ H 2 = H 2 R r H 2 ( R r -1 ) =H H 2 =H r R-r H = 1 H+H r R-r =H( 1+ r R-r ) =H R R-r , V= 1 3 π R 2 H 1 - 1 3 π r 2 H 2 = 1 3 π( R 2 ċH R R-r - r 2 ċH r R-r ) = 1 3 πH( R 3 - r 3 R-r ) = 1 3 πH( R 2 +Rr+ r 2 ) .





 

купить осаго сайт
осагокаско.рус
© Физикон, 1999-2015