Учебник. Объем пирамиды




Объем пирамиды

Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют равные объемы.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V= 1 3 SċH , где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

Дополним треугольную пирамиду PABC до треугольной призмы ABCPED, у которой такие же высота и основание (чертеж 6.2.1). Эта призма состоит из трех пирамид: PABC, PBDE и PBCD. Докажем, что их объемы равны. У пирамид PABC и PBDE равные высоты и равновеликие основания. Согласно лемме эти пирамиды имеют равные объемы. У пирамид PBCD и PBDE общая высота и равновеликие основания, так как Δ BCD = Δ BDE. Таким образом, объем пирамиды PABC втрое меньше объема призмы ABCPED: V= 1 3 SċH , что и требовалось доказать.

Пусть имеется n-угольная пирамида (n > 3) (чертеж 6.2.2). Разобьем ее на несколько треугольных пирамид диагональными сечениями, как показано на чертеже 6.2.2. Пусть V1, V2, ..., Vn – объемы образованных пирамид, а V – объем данной пирамиды, тогда V= V 1 + V 2 +...+ V n = 1 3 ( S 1 + S 2 +... S n ) H= 1 3 SċH ,

где S – площадь основания данной пирамиды.

Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле V= 1 3 H( S 1 + S 1 S 2 + S 2 ) , где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

Дополним усеченную пирамиду до полной (чертеж 6.2.3), O1O = H – высота усеченной пирамиды. Площади оснований соответственно равны S1, S2 (S1 > S2). Высота дополняющей пирамиды, как было доказано выше, P O 1 = H S 2 S 1 - S 2 . Объем V = V1 – V2, где V1 и V2 – соответственно объемы пирамид PABC и PA1B1C1, а V – объем усеченной пирамиды. Следовательно, V= 1 3 POċ S 1 - 1 3 P O 1 ċ S 2 = 1 3 ( P O 1 +H ) S 1 - 1 3 P O 1 ċ S 2 , V= 1 3 H S 1 + 1 3 P O 1 ( S 1 - S 2 ) = 1 3 H S 1 + 1 3 H S 2 S 1 - S 2 ( S 1 - S 2 ) , V= 1 3 H( S 1 + S 1 S 2 + S 2 ) ,

что и требовалось доказать.





 

Краска с песком для стен
Антикоррозионные краски. Краски и средства защиты древесины
dessa-decor.ru
© Физикон, 1999-2015