Учебник. Объем пирамиды

Дополним треугольную пирамиду PABC до треугольной призмы ABCPED, у которой такие же высота и основание (чертеж 6.2.1). Эта призма состоит из трех пирамид: PABC, PBDE и PBCD. Докажем, что их объемы равны. У пирамид PABC и PBDE равные высоты и равновеликие основания. Согласно лемме эти пирамиды имеют равные объемы. У пирамид PBCD и PBDE общая высота и равновеликие основания, так как Δ BCD = Δ BDE. Таким образом, объем пирамиды PABC втрое меньше объема призмы ABCPED: $V$ что и требовалось доказать.

Пусть имеется n-угольная пирамида (n > 3) (чертеж 6.2.2). Разобьем ее на несколько треугольных пирамид диагональными сечениями, как показано на чертеже 6.2.2. Пусть V₁, V₂, ..., V_n – объемы образованных пирамид, а V – объем данной пирамиды, тогда $V$

где S – площадь основания данной пирамиды.

Дополним усеченную пирамиду до полной (чертеж 6.2.3), O₁O = H – высота усеченной пирамиды. Площади оснований соответственно равны S₁, S₂ (S₁ > S₂). Высота дополняющей пирамиды, как было доказано выше, $P$ Объем V = V₁ – V₂, где V₁ и V₂ – соответственно объемы пирамид PABC и PA₁B₁C₁, а V – объем усеченной пирамиды. Следовательно, $V$ $V$ $V$

что и требовалось доказать.