Учебник. Определение объема тела




Определение объема тела

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:

  • равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

  • если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

  • за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2, то V1 < V2.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc.

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH.

Пусть ABCA1B1C1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA1C1B1D1. Середина O диагонали AB1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA1B1D1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O, а поэтому равновелики. Пусть V и V1 – соответственно объемы призмы ABCA1B1C1 и параллелепипеда, тогда, учитывая теорему 6.1, получим V= 1 2 V 1 = 1 2 ACċBCċ C 1 C= S Δ ABC ċC C 1 =SċH .

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 (чертеж 6.1.2). Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC. Следовательно, V = V1 + V2 = SΔ ADC · H + SΔ BDC · H = SΔ ABC · H = S · H.

Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n-угольная призма (n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм (чертеж 6.1.3).

Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n-угольной призмы V = V1 + V2 + ... + Vn = (S1 + S2 + ... + Sn)H = S · H, где S1, S2, ..., Sn – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n-угольной призмы.

Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V = Sпс · l.

Пусть ABC A 1 B 1 C 1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A 2 B 2 C 2 и A 3 B 3 C 3 – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 прямая, причем A 2 A 3 = A 1 A . Заметим, что параллельный перенос на вектор A 1 A переводит многогранник A2B2C2A1B1C1 в многогранник A3B3C3ABC. Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA1B1C1, V1 – объем призмы A3B3C3A2B2C2, V2 – объем многогранника A2B2C2ABC, тогда V + V2 = V1 + V2, откуда V = V1. Поскольку призма A3B3C3A2B2C2 прямая, то V1 = SΔ A3B3C3 · A2A3 = Sпс · l = V,

что и требовалось доказать.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S · H.

Пусть A2B2C2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA1B1C1 (чертеж 6.1.5), A1O – высота этой призмы. Пусть A A 1 =φ . Поскольку A A 1 A 2 B 2 C 2 , а A O 1 ABC , то плоскости A 2 B 2 C 2 и ABC образуют тот же угол φ, что и прямые A1A и A1O. По теореме о площади ортогональной проекции SA2B2C2 = SABС cos φ. Согласно теореме 6.3 V = SA2B2C2 · A1A = SABС cos φ · A1A = SABС · A1O = S · H.





 

© Физикон, 1999-2015