Учебник. Определение объема тела

Пусть ABCA₁B₁C₁ – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA₁C₁B₁D₁. Середина O диагонали AB₁ этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA₁B₁D₁, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O, а поэтому равновелики. Пусть V и V₁ – соответственно объемы призмы ABCA₁B₁C₁ и параллелепипеда, тогда, учитывая теорему 6.1, получим $V=\frac{1}{2}{V}_1=\frac{1}{2}ACċBCċC_{1}C=S_{\mathrm{\Delta }ABC}ċC{C}_1=SċH\mathrm{.}$

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA₁B₁C₁ (чертеж 6.1.2). Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC. Следовательно, V = V₁ + V₂ = S_Δ ADC · H + S_Δ BDC · H = S_Δ ABC · H = S · H.

Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n-угольная призма (n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм (чертеж 6.1.3).

Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n-угольной призмы V = V₁ + V₂ + ... + V_n = (S₁ + S₂ + ... + S_n)H = S · H, где S₁, S₂, ..., S_n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n-угольной призмы.

Пусть $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ – наклонная призма (чертеж 6.1.4), $A_2{B}_2{C}_2$ и $A_3{B}_3{C}_3$ – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма $A_2{B}_2{C}_2{A}_3{B}_3{C}_3$ прямая, причем $A_2{A}_3=A_{1}A$ . Заметим, что параллельный перенос на вектор $\stackrel{⟶}{A_{1}A}$ переводит многогранник A₂B₂C₂A₁B₁C₁ в многогранник A₃B₃C₃ABC. Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA₁B₁C₁, V₁ – объем призмы A₃B₃C₃A₂B₂C₂, V₂ – объем многогранника A₂B₂C₂ABC, тогда V + V₂ = V₁ + V₂, откуда V = V₁. Поскольку призма A₃B₃C₃A₂B₂C₂ прямая, то V₁ = S_Δ A3B3C3 · A₂A₃ = S_пс · l = V,

что и требовалось доказать.

Пусть A₂B₂C₂ – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA₁B₁C₁ (чертеж 6.1.5), A₁O – высота этой призмы. Пусть $\angle A{A}_1=\phi$ . Поскольку $A{A}_1\perp A_2{B}_2{C}_2$ , а $A$ , то плоскости $A_2$ и ABC образуют тот же угол φ, что и прямые A₁A и A₁O. По теореме о площади ортогональной проекции S_A2B2C2 = S_ABС cos φ. Согласно теореме 6.3 V = S_A2B2C2 · A₁A = S_ABС cos φ · A₁A = S_ABС · A₁O = S · H.