Учебник. Поверхности второго порядка




Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 =1 ;  a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

  1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что | x |a ,   | y |b ,   | z |c .

  2. Эллипсоид обладает

    • центральной симметрией относительно начала координат,
    • осевой симметрией относительно координатных осей,
    • плоскостной симметрией относительно начала координат.
  3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 =2z ;  a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

  1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

  2. Эллиптический параболоид обладает

    • осевой симметрией относительно оси Oz,
    • плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
  3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oyпарабола.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением x 2 a 2 - y 2 b 2 =2z ;  a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Свойства гиперболического параболоида.

  1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

  2. Гиперболический параболоид обладает

    • осевой симметрией относительно оси Oz,
    • плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
  3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

  4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 =1 ;  a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида.

  1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

  2. Однополостной гиперболоид обладает

    • центральной симметрией относительно начала координат,
    • осевой симметрией относительно всех координатных осей,
    • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
  3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением z 2 c 2 - x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ;  a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.

  1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что | z |c и неограничен сверху.

  2. Двуполостный гиперболоид обладает

    • центральной симметрией относительно начала координат,
    • осевой симметрией относительно всех координатных осей,
    • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
  3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при | z |>c получается эллипс, при | z |=c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

 

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x2 – y2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x2 + y2 = 1 – круговой цилиндр, уравнение x2 + y2 = z2 – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.





 

Бетонный завод в Старая Купавна
Карта бетонных заводов Москвы и Московской области
b-beton.ru
© Физикон, 1999-2015