Учебник. Ортогональное проектирование




Ортогональное проектирование

Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным проектированием.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Sпр = S cos φ.

Заметим, что проекции фигуры на произвольные из параллельных плоскостей равны, так как могут быть совмещены параллельным переносом в направлении проектирования.

Теперь рассмотрим теорему для случая, когда проектируется треугольник.

Первый случай. Плоскость проекции проходит через сторону треугольника (чертеж 3.7.1), Прα(Δ ABC) = Δ ABO, CD – высота Δ ABC. По теореме о трех перпендикулярах OD ⊥ AB, то есть OD – высота Δ ABO. Плоскость CDO перпендикулярна прямой AB, поэтому ∠CDO – линейный угол двугранного угла AB. Пусть ∠CDO = φ, тогда OD = CD cos φ, S Δ ABC = 1 2 ABċCD , S Δ ABO = 1 2 ABċOD= 1 2 ABċCDcosφ= S Δ ABC cosφ ,

что и требовалось доказать.

Если сторона AB не лежит в плоскости проекции, но параллельна ей, доказательство аналогично.

Второй случай. Ни одна сторона Δ ABC не параллельна плоскости проекции (чертеж 3.7.2). Проведем отрезок BD параллельно плоскости проекции. Тогда в каждом из треугольников ABD и BCD существует сторона BD, параллельная плоскости проекции. В соответствии с первым случаем получаем: SΔ AB1D1 = SΔ ABD cos φ, SΔ B1C1D1 = SΔ BCD cos φ.

Складывая или вычитая эти равенства в зависимости от того принадлежит точка D отрезку AC или лежит вне него, имеем SΔ AB1C1 = SΔ ABC cos φ,

что и требовалось доказать.

Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна плоскости проекции. Проекцией Δ в этом случае является отрезок, площадь которого равна нулю. Косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью Δ равен так же нулю. Значит формула S пр = S cosφ также формально верна.

Если проектируется многоугольник, то разбиваем его на треугольники и для каждого применяем доказанную теорему.





 

Услуги по ремонту фасадов зданий
Где дешевле Ремонт фасада? Я нашел здесь
fasadrolf.ru
© Физикон, 1999-2015