Учебник. Вписанные и описанные четырехугольники




Вписанные и описанные четырехугольники
Четырехугольник

Четырехугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.

Вписанные и описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась 180°.

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O.

По теореме 6.1 ABC+ADC= 1 2 ADC+ 1 2 ABC= 1 2  ( ∪ ADC+ABC ) = 180 ˆ . Аналогично BAD+BCD= 180 ˆ .

Достаточность. Пусть ABCD – данный четырехугольник и BAD+BCD= 180 ˆ . Существует окружность, проходящая одновременно через три точки A, B и D (теорема 6.5). Пусть точка C лежит внутри окружности. Прямая (BC) пересекает окружность в точке C 1 . Тогда четырехугольник AB C 1 D – вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием BAD+B C 1 D= 180 ˆ . Но BCD>B C 1 D как внешний к углу C 1 CD . Тогда BAD+BCD>BAD+B C 1 D , что противоречит условию. Следовательно, C лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка C лежит вне окружности. Теорема доказана.

К теореме 7.13

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны.

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD описанный, и M, P, L, N – точки касания его сторон. Имеем BM = BN, CM = CP, DP = DL, AL = AN (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда BM + MC + AL + LD = BN + AN + CP +PD.

Достаточность. Пусть в четырехугольнике ABCD выполнено равенство AB + CD = BC + AD. Биссектрисы углов (BAD) и (ABC) пересекаются в точке O. Точка O одинаково удалена от прямых AB, BC и AD . Пусть ω (O, r) – окружность, касающаяся сторон AB, BC и AD, а сторона CD пересекает окружность ω. Проведем касательную к окружности ω из точки C, и пусть она пересекает прямую AD в точке D1. Тогда из необходимого условия – AB + CD1 = BC + AD1. Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем CD1 – CD = AD1 – AD или CD1 – CD = DD1, CD1 = CD + DD1. Мы пришли к противоречию, так как CD1 < CD + DD1. В случае, если прямая CD не пересекает окружность ω, доказательство аналогично. Теорема доказана.

К теореме 7.14

Описанный параллелограмм является ромбом.





 

Терморегулятор thermoreg
Выгодные предложения Москвы на терморегуляторы
thermo.moscow
© Физикон, 1999-2015