Учебник. Ромб




Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб

Свойства ромба.


Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.


Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD. Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – высота в треугольнике BAD. Следовательно, (AC) ⊥ (BD).

Диагонали ромба

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.


Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD – равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD. Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – биссектриса в треугольнике BAD. Следовательно, ∠BAO = ∠DAO. Аналогично, рассмотрев треугольник ABC, получаем, что BO – медиана в равнобедренном треугольнике ABC, и, следовательно, BO – биссектриса угла ABC. Теорема доказана.

К теореме 7.9

Признаки ромба.


Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.


Пусть ABCD – данный параллелограмм, AC и BD – его диагонали и (AC) ⊥ (BD). Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. Действительно, так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то AO = OC, и тогда BO – медиана треугольника ABC, проведенная к стороне AC. Но по условию (BO) ⊥ (AC) и [BO] – высота треугольника ABC. Тогда по теореме 4.6  ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Отсюда – AB = BC. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма (теорема 7.3) следует, что AB = BC = CD = AD. Таким образом, данный параллелограмм – ромб. Теорема доказана.

К теореме 7.10

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.


Пусть ABCD – данный параллелограмм, AC – его диагональ и, при этом, AC – биссектриса угла A параллелограмма. Так как AC – биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD. С другой стороны, углы CAD и BCA внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC и по теореме 3.4 ∠BCA = ∠CAD. Отсюда ∠BAC = ∠BCA и по признаку равнобедренного треугольника (теорема 4.5) ABC равнобедренный, и, следовательно, AB = BC. Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Тогда AB = BC = CD = AD. Таким образом, ABCD – ромб. Теорема доказана.

К теореме 7.11

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является также частным случаем ромба.

Свойства квадрата.

  1. У квадрата все углы прямые.
  2. Диагонали квадрата равны.
  3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.




 

Алгебра 8 класс Мордкович
Достаточно выбрать из списка нужный вам предмет и класс
onlinegdz.net
© Физикон, 1999–2015