Учебник. Окружность, отрезок и прямая




Окружность, отрезок и прямая

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром, а также его длина, называется радиусом окружности.

Окружность

Окружность разбивает плоскость на две части. Одной из них принадлежат все точки плоскости расстояние от которых до центра окружности меньше или равно её радиуса. Эта часть плоскости называется кругом. Про окружность при этом говорят как о границе круга, а её радиус считается также радиусом круга. О точках плоскости, не принадлежащих кругу, говорят как о точках, лежащих вне окружности. Очевидно, что расстояние до каждой такой точки от центра окружности больше её радиуса.

Определение окружности позволяет проиллюстрировать понятие геометрического места точек.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется совокупность таких и только таких точек плоскости, которые обладают заданным свойством.

В соответствии с этим определением окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки. Действительно, все точки окружности и только они обладают тем свойством, что лежат на расстоянии радиуса от её центра.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Хорда и диаметр

Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной, а их общая точка – точкой касания.


Pадиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.


Пусть ω (O; R) – данная окружность, прямая a касается её в точке P. Пусть радиус OP не перпендикулярен к a. Проведём из точки O перпендикуляр OD к касательной. По определению касательной, все её точки, отличные от точки P, и, в частности, точка D лежат вне окружности. Следовательно, длина перпендикуляра OD больше R – длины наклонной OP. Это противоречит свойству наклонной, и полученное противоречие доказывает утверждение.

Касательная

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей.

Проведём через точку касания окружностей касательную к одной из них. Тогда можно доказать, что она будет касательной и к другой окружности, то есть будет общей касательной. Будем говорить, что окружности касаются внешним образом, если их центры лежат в разных полуплоскостях от общей касательной, и внутренним образом, если центры лежат в одной полуплоскости от общей касательной.

Случаи касания окружностей

Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей.


Пусть AB – хорда окружности и C – её середина. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB. Боковые стороны AO и OB равны как радиусы окружности. По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию, отрезок OC является высотой. Поэтому диаметр окружности, проведённый через середину хорды, перпендикулярен хорде. Свойство доказано.

К свойству 6.2

Прямая, проведённая через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.

Соединим центры окружностей с точкой их касания. Поскольку через точку A касания двух окружностей проходит общая касательная l к этим окружностям, то угол (l, [AO1)) = (l, [AO2)) = 90°. Следовательно, угол O1AO2 – развёрнутый и точки O1, A, O2 лежат на одной прямой a, перпендикулярной к касательной l. Свойство доказано.





 

Техника franke
Магазины домашней техники. Продажа бытовой техники
frankye.ru
© Физикон, 1999–2015