Учебник. Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника




Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Под косинусом тупого угла α (90° < α < 180°) будем понимать значение косинуса смежного с ним угла, взятого со знаком минус. Косинус прямого угла будем считать равным 0.

Под синусом тупого угла будем понимать синус смежного угла. Синус прямого угла будем считать равным 1.

Из этих определений следует, что для любых углов, таких, что 0 < α < 180° справедливы равенства

sin α = sin (180° – α) и cos α = –cos (180° – α).

Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства.

sin 90° = sin (180° – 90°) и cos 90° = 0 = –cos (180° – 90°).

Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению

sin β = sin (180° – β) или sin (180° – α) = sin (180° – (180° – α)) = sin α.
cos β = –cos (180° – β) или cos (180° – α) = –cos (180° – (180° – α)) = –cos α.

Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).

Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.


Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.


Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника ABC равен 90°. Тогда треугольник ABC прямоугольный и по теореме Пифагора имеем

BC2 = AB2 + AC2.

Но с другой стороны, так как cos 90° = 0

AB2 + AC2 = AB2 + AC2 – 2ABAC cos 90° = BC2.

Теорема верна.

На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол α – острый, в третьем – тупой. Пусть ABC – данный треугольник. Докажем, что

BC2 = AB2 + AC2 – 2ABAC cos α.

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC). Рассмотрим два возможных случая.

  1. Пусть угол α – острый. Тогда, либо точка D лежит между точками A и C, либо точка C – между точками A и D. Поэтому справедливы следующие равенства:
    AB2 = AD2 + BD2;
    BC2 = CD2 + BD2;
    AD = AB cos α;
    CD = |ACAD|.
    Из первых двух равенств, исключая BD2, получим
    BC2 = AB2 + CD2AD2.
    Подставляя из последнего равенства выражение для CD, имеем:
    BC2 = AB2 + (|ACAD|)2AD2 = AB2 + AC2 – 2ACAD.
    С учётом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство:
    BC2 = AB2 + AC2 – 2ABAC cos α.
  2. Пусть угол α – тупой. Тогда точка A лежит между точками D и C. Поэтому справедливы равенства:
    AB2 = AD2 + BD2;
    BC2 = CD2 + BD2;
    AD = AB cos (180° – α);
    CD = AC + AD.
    Имеем: BC2 = AB2 + CD2AD2. С учётом последнего равенства
    BC2 = AB2 + (AC + AD)2AD2 = AB2 + AC2 + 2ACAD = AB2 + AC2 + 2ABAC ⋅ cos (180° – α).

Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учётом этого, окончательно получаем

BC2 = AB2 + AC2 – 2ABAC cos α.

Теорема доказана.

К доказательству теоремы косинусов
К доказательству теоремы косинусов

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т. е.

a sinα = b sinβ = c sinγ .

Пусть ABC – треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противолежащими им углами α, β, γ. Докажем, что a sinα = b sinβ = c sinγ .

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC).

  1. Пусть все углы Δ ABC острые. Тогда BD = a sin γ из прямоугольного треугольника BCD. Аналогично из треугольника ABD BD = c sin α. Приравнивая правые части, получаем a sin γ = c sin α или a sinα = c sinγ .
    Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую (AB), получим CE = b sin α из Δ ACE, CE = a sin β из Δ BCE. И, сравнивая эти равенства, имеем a sinα = b sinβ .
    Окончательно из полученных равенств имеем
    a sinα = b sinβ = c sinγ .
  2. Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD = a sin (180° – γ) = a sin γ из Δ BCD, BD = c sin α из Δ ABD. Отсюда a sin γ = c sin α или a sinα = c sinγ .
    Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую (AB) и рассуждая аналогично пункту 1, получим a sinα = b sinβ и, окончательно, a sinα = b sinβ = c sinγ .
    Теорема доказана.
К доказательству теоремы синусов

Пусть даны два Δ ABC и A1B1C1 и углы при вершинах A, B и C одного треугольника равны углам при вершинах A1, B1, C1 соответственно, другого треугольника. Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть

A 1 B 1 AB = B 1 C 1 BC = A 1 C 1 AC .

Действительно из Δ ABC по теореме синусов имеем

AB sin ( ∠ C ) = BC sin( ∠ A ) = AC sin( ∠ B ) .

Аналогично из Δ A1B1C1 получим

A 1 B 1 sin( ∠  C 1 ) = B 1 C 1 sin( ∠  A 1 ) = A 1 C 1 sin( ∠  B 1 ) .

Деля входящие во второе равенство выражения на соответствующие выражения из первого равенства и учитывая, что синусы равных углов равны получим искомое равенство.


Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причём α < β. Тогда sin α < sin β


Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что ∠ BAC= 90 -β ,    ∠ BAD= 90 -α . Точки B, C, D лежат на прямой a, которая перпендикулярна лучу AB. Так как ( 90 -β ) < ( 90 -α ) , то луч AC лежит между сторонами угла BAD, следовательно, точка C лежит между точками B и D и BC < BD. Отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на прямую a, соответственно, поэтому, по свойству наклонных (см. параграф 5.1) AD > AC. Треугольники ABC и ABD прямоугольные (B равен 90° по условию), поэтому ACB = β, ∠ ADB = α.

По определению

sinβ= AB AC ;  sinα= AB AD, но sinβ sinα = AB AC AD AB = AD AC >1.

Отсюда

sin β > sin α, что и требовалось доказать.

Заметим, что, если α – острый угол, то

sinα<1=sin 90 .
К следствию 5.2

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.


Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности γ – тупой, то γ = 180° – (α + β), но sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) и по лемме 5.2 sin (α + β) = sin γ > sin α и sin γ > sin β. Bторое утверждение следует из теоремы 5.4.


Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.


Пусть A, B, C – три данные точки. Если две точки из трёх или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B. Тогда AB + BC = AC. Отсюда AB < AC < AC + BC, BC < AC < AC + BC, AC = AB + BC и утверждение теоремы верно.


Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что AB < AC + BC.
Опустим перпендикуляр CD на прямую AB. Точки A, B, D лежат на данной прямой и по доказанному ABAD + BD. Но AD < AC и BD < BC по построению и свойству наклонной. Отсюда AB < AC + BC. Теорема доказана.

Неравенство треугольника

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.





 

Химическая формула масла какао. Какао масло аптека .
realbio.su
© Физикон, 1999-2015