Учебник. Равнобедренный треугольник




Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.


Свойства равнобедренного треугольника.


В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.


Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC. По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; ∠C = ∠C. Отсюда следует ∠A = ∠B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.


В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ACD = ∠BCD, ∠ADC = ∠BDC. Из первого равенства следует, что CD биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD высота треугольника. Теорема доказана.


Признаки равнобедренного треугольника.


Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.


Пусть Δ ABC – треугольник, в котором ∠A = ∠B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; ∠B = ∠A; ∠A = ∠B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC равнобедренный. Теорема доказана.


Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.


В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.


Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

К теореме 4.7

Пусть Δ ABC и Δ A1B1C1 таковы, что AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1. Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что A A 1 ;B B 1 ;C C 1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть Δ A1B1C2 – треугольник, равный Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Треугольники A1C1C2 и B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.





 

© Физикон, 1999-2015