Учебник. Теорема Менелая




Теорема Менелая
Пусть дан треугольник ABC и точки C 1 ,   B 1 ,   A 1 , на, соответственно, прямых AB, AC и BC. Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство A C 1 C 1 B ċ B A 1 A 1 C ċ C B 1 B 1 A = -1.

Необходимость. Пусть прямая l пересекает прямые AB, BC, AC соответственно в точках C1, A1 и B1 (рис. 14.2.1). Проведем произвольную прямую P, пересекающую прямую l в точке N, а через точки A, B и C соответственно прямые a, b и c, параллельные прямой l и пересекающие p в точках K, L, M. По теореме о пропорциональных отрезках A C 1 C 1 B = KN  NL  ; B A 1 A 1 C = LN  NM  ; C B 1 B 1 A = MN  NK  . Перемножая равенства и учитывая, что KN NK = MN NM = LN NL =-1, получаем искомое равенство.

Достаточность. Пусть дан треугольник ABC, точки A 1 (BC) ,   B 1 (AC) ,   C 1 (AB) и пусть выполнено необходимое условие. Докажем, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Проведем прямую через заданные две точки A1 и B1. Эта прямая пересекает прямую AB в некоторой точке C'.

Действительно, если допустить противное, а именно, что прямая A1B1'(AB), то из подобия треугольников CA1B1 и CBA следует, что B A 1 ċC B 1 A 1 Cċ B 1 A =1. С учетом необходимого условия получим, что A C 1 C 1 B =-1. Но такой точки не может существовать, и мы пришли к противоречию. По условию имеем: A C 1 C 1 B ċ B A 1 A 1 C ċ C B 1 B 1 A =-1; с другой стороны, в силу необходимого условия справедливо равенство AC  ' C  'B ċ B A 1 A 1 C ċ C B 1 B 1 A =-1. Откуда получаем AC  ' C  'B = A C 1 C 1 B и приходим к выводу, как и в случае доказательства обобщенной теоремы Чевы, что точки C1 и C' совпадают.





 

Мебельный щит цельноламельный сосна
Мебельная фабрика (гСходня. Мебельная фабрика. Поставки мебельной фурнитуры
npokrokus.ru
© Физикон, 1999-2015