Учебник. Площадь круга




Площадь круга

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей ее окружности на радиус:

S= 1 2 ( 2πr ) r=π r 2 .
К теореме 13.6

Построим два правильных n-угольника: P1 – вписанный в круг и P2 – описанный около круга (рис. 13.3.1).

Многоугольники являются простыми фигурами. Многоугольник P 2 содержит круг, а многоугольник P 1 содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника P 1 , разбивают его на n треугольников, равных треугольнику AOD. Поэтому S P 1 =n S AOD .   Так как S AOD =ACċOC=ACċAOċcos α ,   S P 1 =( nċAC ) AOċcos α= pr 2 cosα ,   где p – периметр многоугольника P 1 ,   r – радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника P 2 : S P 2 =n S BOF ,   S BOF =ABċAO= AC cosα ċAO ,   S P 2 = nċACċAO cosα = pr 2cosα .   Итак, многоугольник P 1 , содержащийся в круге, имеет площадь S P 1 = pr 2 cosα ,   а многоугольник, содержащий круг, имеет площадь S P 2 = pr 2cosα .   При достаточно большом n периметр p отличается сколь угодно мало от длины l окружности, а cos α сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому площади многоугольников сколь угодно мало отличаются от величины lr 2 .   Согласно определению площади произвольной фигуры это значит, что площадь круга S= lr 2 =π r 2 .   Теорема доказана.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле S= π r 2 360ˆ α ,   где r – радиус круга, α – градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 13.3.2).

   
Круговой сектор Круговой сегмент Круговой сегмент

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле S= π r 2 360ˆ α± S Δ ,   где α – градусная мера дуги кругового сегмента, а SΔ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «–» выбирается, если α < 180° (рис. 13.3.3), знак «+», если α > 180° (рис. 13.3.4).





 

Обогреватель вулкан
Производитель электрических обогревателей. Интернет-магазин обогревателей
volcano-pro.ru
© Физикон, 1999-2015