Учебник. Площади многоугольников




Площади многоугольников

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (рис. 13.2.1): S = a ċ b.

Пусть ABCD и AB1C1D – два прямоугольника с общим основанием AD (рис. 13.2.1).

 
К теореме 13.2  К теореме 13.2

Пусть S и S 1 – их площади. Докажем, что S S 1 = AB A B 1 .   Разобьем сторону AB прямоугольника на некоторое число n равных частей, каждая из которых равна AB n .   Пусть m – число точек деления, которые лежат нa стороне AB1. Тогда ( AB n ) mA B 1 ( AB n ) ( m+1 ) .   Отсюда, разделив на AB, получим m n A B 1 AB m n + 1 n .   (*)

Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь S n .   Прямоугольник A B 1 C 1 D содержит первые m прямоугольника, считая от стороны AD, и содержится в m + 1 прямоугольниках. Поэтому ( S n ) m S 1 ( S n ) ( m+1 ) .   Отсюда m n S 1 S m n + 1 n .   (**)

Сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что 0| S 1 S - A B 1 AB | 1 n .   При этом S 1 S   и A B 1 AB  – фиксированные числа, а n может быть выбрано сколь угодно большим. Следовательно, неравенство возможно только при S 1 S = A B 1 AB .   Возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со сторонами 1, a и прямоугольник со сторонами a, b (рис. 13.2.2). Площадь прямоугольника со сторонами 1 и a обозначим S . Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь S 1 = a 1   и S S = b 1 .   Перемножая эти равенства почленно, получим S = a ċ b. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 13.2.5):

S = a ċ h.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый (рис. 13.2.3).

К теореме 13.3

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE ċ AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a ċ h. Теорема доказана.

 

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту (рис. 13.2.6): S = 1 2 aċh .  

К теореме 13.4

Пусть ABC – данный треугольник (рис. 13.2.7). Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке.

К теореме 13.4

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, и S= 1 2 h A ċa .  Теорема доказана.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту (рис. 13.2.8). S= a+b 2 ċh .  

К теореме 13.5

Пусть ABCD – данная трапеция (рис. 13.2.9).

К теореме 13.5

Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника ACD равна 1 2 ADċCE ,   площадь треугольника ABC равна 1 2 BCċAF .   Высоты AF и CE этих треугольников равны расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, S= 1 2 BCċAF+ 1 2 ADċCE=( 1 2 b+ 1 2 a ) h= a+b 2 ċh .   Теорема доказана.





 

Webmoney приватбанк
Обмен WebMoney. Обменный пункт WebMoney
nakartu.com
© Физикон, 1999-2015