Учебник. Основные понятия и свойства




Основные понятия и свойства

Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число треугольников. Очевидно, что выпуклый плоский многоугольник является простой фигурой.

Площадью простой фигуры называется положительная величина со следующими свойствами:

  1. равные треугольники имеют одну и ту же площадь;
  2. если фигура разбита на конечное число простых фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих простых фигур;
  3. площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Измерение площади состоит в сравнении площади SF данной фигуры F с площадью квадрата со стороной, равной единице измерения. В результате сравнения получается некоторое число – численное значение площади данной фигуры, которое показывает, во сколько раз отличается площадь фигуры F от площади единичного квадрата. Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими.

Площади равных фигур равны.

Пусть F и F  – равные простые фигуры. Тогда существует такое движение f, что F =f( F ) .  По определению простой фигуры F составлена из некоторых треугольников T 1 ,  T 2 , ...,  T n . Тогда фигура F  будет составлена из равных им треугольников T 1 =f( T 1 ) ,  ..., T n =f( T n ) .   Так как по свойству 1 определения площади простой фигуры S( T 1 ) =S( T 1 ) ,  ..., S( T n ) =S( T n )  и по свойству 2 того же определения S( F ) =S( T 1 ) +...+S( T n ) ,   S( F ) =S( T 1 ) +...+S( T n ) ,   то S( F ) =S( F ) .   Теорема доказана.

Произвольная фигура имеет площадь S, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S.





 

© Физикон, 1999-2015