Учебник. Подобие треугольников




Подобие треугольников

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1   A= A 1 ,   B= B 1 . Пусть AB A 1 B 1 =k .   Переведем треугольник A 1 B 1 C 1 гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник A 2 B 2 C 2 (см. рис. 12.7.1).

Первый признак подобия треугольников

Треугольники ABC и A2B2C2 равны и, следовательно, подобны. Действительно, при гомотетии углы сохраняются, значит, A 1 = A 2 =A ,   B 1 = B 2 =B . Кроме того A2B2 = kA1B1 = AB. По второму признаку равенства треугольники ABC и A2B2C2 равны (теорема 4.2). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее Δ A 2 B 2 C 2 в ΔABC .   Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, мы осуществим подобие g ˆ f, которое переводит треугольник A 1 B 1 C 1 в треугольник ABC. Следовательно, Δ A 1 B 1 C 1 ΔABC .   Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Пусть у треугольников ABC и Δ A 1 B 1 C 1   C= C 1 и AC=k A 1 C 1 ,   BC=k B 1 C 1 . Докажем, что ΔABCΔ A 1 B 1 C 1 .   Переведем треугольник A1B1C1 гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник A2B2C2. ΔA2B2C2 = ΔABC. Действительно, A 2 C 2 =k A 1 C 1 =AC ,   B 2 C 2 =k B 1 C 1 =BC ,   C2= C 1 =C . Треугольники A 2 B 2 C 2 и ABC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее ΔA2B2C2 в ΔABC. Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, получим подобие g ˆ f, которое переводит ΔA1B1C1 в ΔABC. Следовательно, Δ A 1 B 1 C 1 ΔABC .   Теорема доказана.

Третий признак подобия треугольников. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 AB = kA1B1, BC = kB1C1, AC = kA1C1. Переведем треугольник A1B1C1 гомотетией f с произвольным центром O и коэффициентом k в треугольник A2B2C2. При этом

A2B2 = kA1B1 = AB, A2C2 = kA1C1 = AC, B2C2 = kB1C1 = BC. По третьему признаку треугольники ABC и ΔA2B2C2 – равны (теорема 4.7). Если g – движение, переводящее ΔA2B2C2 в ΔABC, то преобразование g ˆ f – подобие, переводящее ΔA1B1C1 в ΔABC. Следовательно, Δ A 1 B 1 C 1 ΔABC .   Теорема доказана.

Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.





 

См. парта kantor classic http://www.2x2x2.ru/catalog/kantor-classic-party-stulya .
2x2x2.ru
© Физикон, 1999-2015