Учебник. Гомотетия




Гомотетия

Гомотетией с центром O и коэффициентом k  ≠  0 называется преобразование, при котором каждой точке X ставится в соответствие точка X  ′  так, что O X  ′ =k OX .   (см. рис. 12.6.1).

Гомотетия

При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на число k.

Пусть O – центр гомотетии, а точки A и B при гомотетии с коэффициентом k переходят в точки A  ′   и B  ′ .   Тогда O A  ′ =k OA ,   O B  ′ =k OB .   Поэтому A  ′ B  ′ = O B  ′ - O A  ′ =k OB -k OA =k( OB - OA ) =k AB .

Гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом | k | .

По теореме 12.13 для любых двух точек A, B и их образов A  ′  и B  ′  при гомотетии верно, что A  ′ B  ′ =k AB .   Из этого равенства следует, что A  ′ B  ′ =| k |AB ,   а это означает, что гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом | k | .  

Подобие с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

Пусть F  ′  получена из фигуры F подобием с коэффициентом k (см. рисунок 12.6.2).

К теореме 12.15

Гомотетией с коэффициентом k (и любым центром) переведем фигуру F в фигуру F1. Тогда любым точкам X, Y фигуры F ставят в соответствие такие точки X1, Y1, что X1Y1 = kXY. Но и для точек X  ′ ,   Y  ′   фигуры F  ′ ,   соответствующих точкам X, Y, также X  ′ Y  ′ =kXY .   Поэтому X  ′ Y  ′ = X 1 Y 1 .   Это равенство верно для любых точек X 1 , Y 1 фигуры F 1 . Следовательно, фигуры F 1 и F  ′ можно некоторым движением перевести в фигуру F  ′ .  

Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

Пусть гомотетия переводит концы отрезка AB в точки A  ′ ,   B  ′  (см. рисунок 12.6.3).

К теореме 12.16

Точка X ∈ AB тогда и только тогда, когда AX =λ AB ,   где 0 ≤ λ ≤ 1 (см. теорему 10.4). При этом, если λ возрастает от 0 до 1, то X пробегает отрезок AB от A к B.

По свойству гомотетии A  ′ X  ′ =k AX   и A  ′ B  ′ =k AB .   Из этих равенств AX = 1 k A  ′ X  ′ ,   AB = 1 k A  ′ B  ′ .   Подставляя эти значения в равенство AX =λ AB ,   получим 1 k A  ′ X  ′ =λ 1 k A  ′ B  ′ ,   откуда A  ′ X  ′ =λ A  ′ B  ′ .   А это равенство означает, что когда число λ возрастает от 0 до 1, точка X  ′  пробегает отрезок A  ′ B  ′ .  

Гомотетия сохраняет величину угла.

Пусть A, B, C – заданные точки, а A  ′ ,   B  ′ ,   C  ′  – их образы при гомотетии f с коэффициентом k. Пусть AB = b AC = c A  ′ B  ′ = b  ′ A  ′ C  ′ = c  ′ .   Тогда BAC= b c  и B  ′ A  ′ C  ′ = b  ′ c  ′   (см. рис. 12.6.4).

К теореме 12.17

По основному свойству гомотетии b  ′ =k b c  ′ =k c .   Отсюда получаем, что | b  ′ |=| k || b || c  ′ |=| k || c | .   Кроме того, b  ′ ċ c  ′ =( k b ) ( k c ) = k 2 b ċ c .   Тогда cos b  ′ c  ′ = ( b  ′ c  ′ ) | b  ′ || c  ′ | = k 2 ( b c ) k| b |ċk| c | =cos b c .   Из равенства косинусов и следует равенство углов. Теорема доказана.

Гомотетия треугольник переводит в треугольник. Стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Пусть дан треугольник ABC, и гомотетия переводит точки A, B, C в точки A  ′ B  ′ C  ′ .   Тогда ΔABC переходит в Δ A  ′ B  ′ C  ′ ,  так как отрезок AB переходит в отрезок A  ′ B  ′ ,  AC – в A  ′ C  ′ ,  BC – в B  ′ C  ′ .   Из теоремы 12.13 следует, что A  ′ B  ′ =k AB ,   A  ′ C  ′ =k AC ,    B  ′ C  ′ =k BC .   Отсюда A  ′ B  ′ =| k |AB A  ′ C  ′ =| k |AC B  ′ C  ′ =| k |BC ,  и окончательно A  ′ B  ′ AB = A  ′ C  ′ AC = B  ′ C  ′ BC .   Равенство углов треугольника вытекает из теоремы 12.17. Теорема доказана.

Свойства подобия следуют из свойств гомотетии на основании теоремы 12.15:
  • Подобие отрезок переводит в отрезок, прямую – в прямую, луч – в луч;
  • Подобие сохраняет величину угла;
  • Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Композиция подобий с коэффициентами k1, k2 есть подобие с коэффициентами k1ċ k2.

Пусть фигура P подобием f с коэффициентом k1 переводится в фигуру P1, а затем фигура P1 подобием g с коэффициентом k2 переводится в фигуру P2 (рис. 12.6.5).

Пусть точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X1, Y1 фигуры P1. Тогда X1Y1 = kXY. Пусть далее точкам X1, Y1 фигуры P1 соответствуют точки X2, Y2 фигуры P2. Тогда X2Y2 = k2X1Y1. Тем самым точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X2, Y2 фигуры P2, и из приведенных равенств следует, что X2Y2 = k1k2XY. В силу произвольности точек X и Y фигуры P это означает, что преобразование g ˆ f – подобие с коэффициентом k1k2.

Композиция подобий




 

© Физикон, 1999-2015