Учебник. Параллельный перенос




Параллельный перенос

Введем на плоскости систему координат O, X, Y. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка M (x; y) переходит в точку M  ′ ( x+ay+b ) ,   где a и b – одни и те же для всех точек (x; y), называется параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами f: x  ′ =x+a y  ′ =y+b ,   (*) которые выражают координаты образа M  ′  через координаты прообраза M при параллельном переносе.

Парралельный перенос
  • При a = b = 0 параллельный перенос совпадает с тождественным преобразованием. При этом каждая точка плоскости – неподвижная точка преобразования;
  • При a2 + b2 > 0 параллельный перенос не имеет неподвижных точек.

Каковы бы ни были две точки A и A  ′ ,   существует один и только один параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A  ′ .  

Введем в плоскости систему координат OXY, и пусть A( a 1 b 1 )   и A  ′ ( a  ′ 1 b  ′ 1 )   – заданные точки. Определим параллельный перенос f равенствами x  ′ =x+a y  ′ =y+b ,   где a= a  ′ 1 - a 1 ,   b= b  ′ 1 - b 1 .   Тогда данный параллельный перенос действительно переводит точку A в A  ′ ,   так как a 1 +a= a 1 + a  ′ 1 - a 1 = a  ′ 1 ;   b 1 +b= b 1 + b  ′ 1 - b 1 = b  ′ 1 . Предположим, что существует отличный от f параллельный перенос φ, такой, что φ ( A ) = A  ′ .   По определению φ: { x  ′ =x+α y  ′ =y+β { a  ′ 1 = a 1 +α b  ′ 1 = b 1 +β . Из последних равенств α= a  ′ 1 - a 1 β= b  ′ 1 - b 1 ,   т. е. φ: x  ′ =x+a y  ′ =y+b ,   что совпадает с f, а это противоречит предположению. Теорема доказана.

Параллельный перенос есть движение.

Действительно, две произвольные точки A( x 1 y 1 ) ,  B( x 2 y 2 )   переходят при параллельном переносе в точки A  ′ ( x 1 +a y 1 +b ) B  ′ ( x 2 +a y 2 +b ) .   Поэтому A B 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 ,   A  ′ B  ′2 = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 .   Отсюда AB= A  ′ B  ′ .   Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, а значит, является движением. Теорема доказана.

Движение, сохраняющее направление, является параллельным переносом.

Пусть f – движение, переводящее точку A в точку A  ′ .   Пусть r ( A  ′ ) - r ( A ) = a ( ab ) .   Выберем произвольную отличную от A точку B, и пусть f( B ) = B  ′ .   По условию AB = A  ′ B  ′ .   По теореме 12.8 имеем A A  ′ = B B  ′   или, следовательно, r ( B  ′ ) - r ( B ) = r ( A  ′ ) - r ( A ) = a .   Отсюда r ( B  ′ ) = r ( B ) + a .   Ввиду произвольности выбора точки B теорема доказана.





 

Воздушные шары с гелием доставка sharikmarket.online
sharikmarket.online
© Физикон, 1999-2015