Учебник. Движение




Движение

Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

Свойства движения.

Движение – взаимно однозначное преобразование.

Пусть X и Y – две разные точки, образы которых при преобразовании движения f совпадают, т. е. f (X) = f (Y). По определению ρ (f (X), f (Y)) = ρ (X, Y). С одной стороны, ρ (X, Y) ≠ 0, так как по условию X  ≠  Y. С другой стороны, ρ (f (X), f (Y)) = 0 в силу предположения. Полученное противоречие доказывает теорему.

Преобразование, обратное к движению, – движение.

Пусть f – заданное движение, f  -1  – обратное к нему преобразование, а X  ′  и Y  ′  – две точки плоскости, являющиеся образами точек X и Y. По определению обратного преобразования f  -1 ( X  ′ ) =X f  -1 ( Y  ′ ) =Y ,   при этом X  ′ =f( X ) Y  ′ =f( Y )   и X  ′ Y  ′ =XY .   Следовательно, f  -1  – движение. Теорема доказана.

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, в точки A  ′ B  ′ C  ′  соответственно, и для определенности положим, что точка B лежит между точками A и C. Тогда выполняются равенства A  ′ B  ′ =AB A  ′ C  ′ =AC B  ′ C  ′ =BCAB+BC=AC . Отсюда A  ′ B  ′ + B  ′ C  ′ = A  ′ C  ′ .   Это означает, что точка B  ′   лежит между точками A  ′   и C  ′ .   Первая часть утверждения доказана.

Предположим, что найдутся три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, такие, что их образы A  ′ B  ′ C  ′  при движении f лежат на некоторой прямой. Рассмотрим преобразование f  -1 .   По теореме 12.2 f  -1  – движение, и в соответствии с доказанным в первой части теоремы образы точек A  ′ B  ′ и C  ′ ,  лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой. Но f  -1 ( A  ′ ) =A f  -1 ( B  ′ ) =B f  -1 ( C  ′ ) =C ,   а они по предположению не лежат на одной прямой. Полученное противоречие доказывает теорему.

  1. Отрезок движением переводится в отрезок.
  2. Луч при движении переходит в луч, прямая – в прямую.
  3. Треугольник движением переводится в треугольник.
  1. Пусть концам отрезка AB движение f сопоставляет точки A  ′  и B  ′ .   Возьмем любую точку X отрезка AB. Тогда по теореме 12.3 X  ′ =f( X )  лежит на прямой A  ′ B  ′  между точками A  ′  и B  ′ ,  то есть на отрезке A  ′ B  ′ .  Наоборот, любую точку Y  ′  отрезка A  ′ B  ′  преобразование f  -1  преобразует в точку Y, принадлежащую отрезку AB, так как f  -1  – также движение. Теорема доказана.
  2. Пусть A и B – произвольные точки данной прямой, A  ′ B  ′  – прямая, проведенная через образы точек A и B при движении f. Рассмотрим произвольную точку C прямой AB. По теореме 12.3 точки A  ′ B  ′ C  ′ ,  где C  ′ =f( C ) ,  лежат на одной прямой, т.е. прямой A  ′ B  ′ .  Аналогично в силу того, что f  -1  – движение, для точки D  ′  прямой A  ′ B  ′  существует точка D прямой AB такая, что D  ′ =f( D ) .  Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч переходит в луч при преобразовании движения.
  3. По теореме 12.3 три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, переходят при преобразовании движения в точки A  ′ B  ′ C  ′  соответственно, не лежащие на одной прямой. Кроме того, отрезки AB, BC и AC переходят в отрезки A  ′ B  ′ B  ′ C  ′ и A  ′ C  ′ .  Таким образом, треугольник ABC переходит в треугольник A  ′ B  ′ C  ′ .   Причем по определению движения A  ′ B  ′ =AB,   A  ′ C  ′ =AC,   B  ′ C  ′ =BC .   Тогда по третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и A  ′ B  ′ C  ′  равны.

При движении сохраняются углы.

Рассмотрим три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Они задают лучи AB и AC, являющиеся сторонами угла BAC. Пусть A  ′ B  ′ C  ′  – соответственно образы рассматриваемых точек A, B, C. Докажем, что BAC= B  ′ A  ′ C  ′ .   Согласно доказательству предыдущей теоремы треугольник ABC равен треугольнику A  ′ B  ′ C  ′ ,  а из равенства треугольников следует, что BAC= B  ′ A  ′ C  ′ .  Теорема доказана.

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.

Пусть у двух движений f и g фигуры F образы некоторых трех точек A, B, C, не лежащих на одной прямой, совпадают, т.е. f (A) = g (A) = A1,  f (B) = g (B) = B1,  f (C) = g (C) = C1. Тогда движения f и g совпадают.

К теореме 12.5

Возьмем любую точку X ∈ F. Пусть X1 = f (X) и X2 = g (X). Покажем, что X1 и X2 совпадают. Допустим, что X1 и X2 – различные точки. Так как f и g – движения, то X1A1 = XA и X2A1 = XA. Поэтому A1X2 = A2X2, т.е. точка A1 равноудалена от точек X1 и X2. Следовательно, точка A1 лежит на серединном перпендикуляре отрезка X1X2 – прямой l (см. рис. 12.2.1).

Но точно также можно сказать, что и точки B1 и C1 лежат на одной прямой l. Мы получим, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой l. Это противоречит теореме 12.3. Итак, X 1   и X 2   совпадают, и в силу произвольности выбора X движения f и g совпадают.

Пусть на плоскости заданы два равных в смысле определения главы 4 треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Тогда существует такое движение плоскости, которое переводит точку A в A1, точку B в B1 и точку C в C1.

Введем векторы u = AB v = AC u 1 = A 1 B 1 v 1 = A 1 C 1 .   В силу равенства треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 имеем равенства ( A 1 B 1 ) 2 = ( AB ) 2 ( A 1 C 1 ) 2 = ( AC ) 2 A 1 B 1 ċ A 1 C 1 = AB ċ AC , т.е. ( u 1 ) 2 = ( u ) 2 ( v 1 ) 2 = ( v ) 2 u 1 ċ v 1 = u ċ v .   (*) Пусть P – любая точка. Разложим вектор AP   по векторам AB   и AC .   Получим AP =α u +β v .   Зададим преобразование f следующим образом: каждой точке P поставим в соответствие точку P так, что если AP =α u +β v ,   то A 1 P 1 =α u 1 +β v 1 .   Для этого преобразования f(A)= A 1 , т.к. при P = A α = β = 0, что дает P 1 = A 1 .   f(B)= B 1 , т.к. при P = B α = 1, β = 0, тогда P 1 = B 1 . И, наконец, f(C)= C 1 . Докажем, что f – движение. Возьмем любые две точки P и Q и соответствующие им точки P 1 =f(P) и Q 1 =f(Q) . Пусть AP =α u +β v ,   AQ =γ u +δ v .   Тогда A 1 P 1 =α u 1 +β v 1 ,   A 1 Q 1 =γ u 1 +δ v 1   и PQ =( γ-α ) u +( δ-β ) v ,   P 1 Q 1 =( γ-α ) u 1 +( δ-β ) v 1 .   Возведя в скалярный квадрат эти равенства, получим PQ 2 = ( γ-α ) 2 u 2 + ( δ-β ) 2 v 2 +2( γ-α ) ( δ-β ) u v и P 1 Q 1 2 = ( γ-α ) 2 u 1 2 + ( δ-β ) 2 v 1 2 +2( γ-α ) ( δ-β ) u 1 v 1 . Ввиду равенств (*) имеем PQ 2 = P 1 Q 1 2 ,   или PQ= P 1 Q 1 . Следовательно, f – движение. Теорема доказана.





 

Камешковая декоративная штукатурка
Нанесем венецианскую штукатурку быстро и качественно
dessa-decor.ru
© Физикон, 1999-2015