Учебник. Векторные уравнения прямой




Векторные уравнения прямой

Положение прямой на плоскости может быть задано одним из следующих способов:

  • прямая l проходит через точку M 0  параллельно вектору a ;
  • прямая l проходит через точки M 1  и M 2 ;
  • прямая l проходит через точку M 0  перпендикулярно вектору n ;
  • прямая l проходит через точку M 0  и составляет с вектором i  угол α (см. рис. 11.5.1).

Любой вектор a 0 , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Любой вектор n 0 , перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой. Если взять на прямой какие-либо две фиксированные точки M 0  и M 1 ,  то вектор M 0 M 1 ,  в частности, будет направляющим вектором прямой M 0 M 1 .

Пусть прямая l задана точкой M 0  и направляющим вектором a  (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой.

 

Обозначим r 0  и  r  радиус-векторы точек M 0  и M соответственно. Вектор M 0 M = r - r 0  параллелен прямой, и, следовательно, вектору a  тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как a 0 ,  то r - r 0 =t a . Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.

Если ввести систему координат ( O i j ) ,  то уравнение можно записать в виде ( x i +y j ) -( x 0 i + y 0 j ) =t( a 1 i + a 2 j ) , где ( xy )  и ( x 0 y 0 )  – координаты точек M 0  и M, а ( a 1 a 2 )  – координаты вектора a .  Отсюда следует, что { x= x 0 + a 1 t y= y 0 + a 2 t . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть a 1 0  и a 2 0 ,  тогда из уравнений следует, что t= x- x 0 a 1 ,  t= y- y 0 a 2  и, окончательно, уравнение x- x 0 a 1 = y- y 0 a 2 ,  которое называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором a ( a 1 a 2 ) .

Если a 1 =0 ,  то параметрическое уравнение примет вид { x= x 0 y= y 0 + a 2 t .

Это уравнение задает прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку M 0 ( x 0 y 0 ) .  Каноническое уравнение прямой имеет вид x= x 0 .  Аналогично, если a 2 =0 ,  то прямая, задаваемая системой { x= x 0 + a 1 t , y= y 0 , проходит через точку M 0 ( x 0 y 0 )  параллельно оси Ox. Ее каноническое уравнение имеет вид y= y 0 .

Как было отмечено ранее, направляющим вектором прямой можно выбрать вектор M 0 M 1 =( x- x 0 y- y 0 ) ,  где M 0 ( x 0 y 0 )  и M 1 ( x 1 y 1 )  – произвольные две точки прямой. Тогда, подставив координаты вектора M 0 M 1  в каноническое уравнение, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: x- x 0 x 1 - x 0 = y- y 0 y 1 - y 0 . Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две точки M 0  и M 1 ,  первая из которых лежит на оси Ox и имеет, следовательно, координаты M 0 ( a0 ) ,  а вторая лежит на оси Oy и имеет координаты M 1 ( 0b ) .  Подставляя их в уравнение, получим x-a 0-a = y-0 b-0 , или x a + y b =1 . Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Пусть M 0 ( x 0 y 0 )  – некоторая точка прямой, n ( AB )  – вектор, перпендикулярный прямой, а M( xy )  – произвольная точка этой прямой (см. рис. 11.5.3). Тогда M лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор M 0 M  перпендикулярен вектору n ,  а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n  и M 0 M  равнялось нулю: ( n M 0 M ) =0 .  Введя радиус-векторы r 0  и r  точек M 0  и M, это уравнение можно записать в виде ( r - r 0 n ) =0 .  Это – нормальное векторное уравнение прямой, а n  – нормальный вектор прямой. Если переписать его через координаты точек M 0 ,  M и вектор n  в ортогональной декартовой системе координат, получим A( x- x 0 ) +B( y- y 0 ) =0 . Это уравнение прямой, проходящей через данную точку M 0 ( x 0 y 0 )  перпендикулярно вектору n ( AB ) .  Обозначив C=-A x 0 -B y 0 ,  окончательно имеем Ax + By + C = 0.

В § 11.4 было показано, что любая прямая может быть задана этим уравнением при условии A 2 + B 2 0 .  Назовем это уравнение общим уравнением прямой. Следовательно, для любой прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, можно считать, что вектор n ( AB )  перпендикулярен прямой, а вектор a ( -BA )  параллелен ей. Действительно, так как ( a n ) =-AB+BA=0 ,  векторы a  и n  взаимно ортогональны, а поскольку n  – нормальный вектор к прямой, то a  параллелен ей. Тогда a  – направляющий вектор прямой.

При рассмотрении векторно-параметрического уравнения прямой мы показали, как перейти к каноническому уравнению, из которого легко получить общее уравнение прямой. Аналогично, из нормального векторного уравнения так же легко перейти к общему уравнению прямой. Покажем теперь, как из общего уравнения прямой получить ее векторные уравнения.

Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда мы знаем, что вектор a ( -BA )  – направляющий вектор прямой, n ( AB )  – ее нормальный вектор. Так как A 2 + B 2 0 ,  предположим для определенности, что A ≠ 0. Тогда точка M 0 ( - C A 0 )  принадлежит прямой. В этом легко убедиться, подставив координаты точки в уравнение прямой. Приведенных данных достаточно, чтобы получить векторные уравнения прямой. Действительно, { x=- C A -Bt y=0+At    – векторно-параметрическое уравнение; A( x+ C A ) +By=0    – векторное нормальное уравнение.





 

Здесь
GSM антенны для внутренней и внешней установки. Усиление GSM сигнала
i-repair.ru
© Физикон, 1999-2015