Учебник. Решение задач векторным методом




Решение задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11.4.1). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что MN  коллинеарен AD .

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то AM = 1 2 AC = 1 2 ( AB + BC ), AN = 1 2 ( AB + AD ). Следовательно, MN = AN - AM = 1 2 ( AB + AD ) - 1 2 ( AB + BC ) = 1 2 ( AD - BC ) . Но BC  коллинеарен вектору AD , поэтому λ AD = BC . Тогда MN = 1 2 ( AD -λ AD ) = 1 2 ( 1-λ ) AD =k AD , то есть MN  коллинеарен AD , что и требовалось доказать.

Задача 2. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m : n, то есть найти точку M∈AB, такую, что AM : MB = m : n.

Очевидно, что M∈AB делит отрезок AB в заданном отношении m : n тогда и только тогда, когда AM = m n MB . Кроме того, OA + AM = OM ;  OM + MB = OB . Отсюда AM = OM - OA ;  MB = OB - OM . Подставляя в исходное соотношение, имеем OM - OA = m n ( OB - OM ) , откуда находим OM = n n+m OA + m n+m OB . В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим OM = 1 2 OA + 1 2 OB .

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат ( O e 1 e 2 ) , то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам x= n m+n x 1 + m m+n x 2 ;  y= n m+n y 1 + m m+n y 2 , где ( x 1 y 1 )  и ( x 2 y 2 )  – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем x= x 1 + x 2 2 ,  y= y 1 + y 2 2 . Таким образом, мы векторным путем получили результаты, полученные нами ранее в § 10.2 (см. теоремы 10.3 и 10.4).





 

© Физикон, 1999-2015