Учебник. Базис. Общая декартова система координат




Базис. Общая декартова система координат

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определённом порядке.

Пусть e 1   и e 2  – некоторый базис и a  – произвольный вектор, тогда по теореме 11.9 и следствию 11.1 существуют два единственным образом определенных числа x и y, такие, что

a =x e 1 +y e 2 .

Числа x и y называются координатами вектора a  в данном базисе. В этом случае также пишут a =( xy ) .

Справедливы следующие свойства.


  1. При умножении вектора на число все его координаты в данном базисе умножаются на это число.
  2. При сложении двух или больше векторов их соответственные координаты складываются.

Пусть ( e 1 e 2 )  – базис и a =( x 1 y 1 ) ,
b =( x 2 y 2 )  – два произвольных вектора. Очевидно,

a = x 1 e 1 + y 1 e 2 ,
b = x 2 e 1 + y 2 e 2 .

  1. Пусть λ – произвольное число. Имеем
    λ a =λ( x 1 e 1 + y 1 e 2 ) =λ x 1 e 1 +λ y 1 e 2 =( λ x 1 λ y 1 ) .
    Здесь мы воспользовались свойствами произведения вектора на число.
  2. a + b = x 1 e 1 + y 1 e 2 + x 2 e 1 + y 2 e 2 = =( x 1 + x 2 ) e 1 +( y 1 + y 2 ) e 2 =( ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) ) .

Пусть на плоскости заданы точка O и произвольный базис ( e 1 e 2 ) .  Совокупность этого базиса и точки O называется декартовой системой координат   O e 1 e 2 .  Точка O называется началом координат. Если через эту точку O провести прямые в направлениях, заданных базисными векторами e 1  и e 2 , то полученные прямые называются осями координат: прямая OX – осью абсцисс, прямая Oy – осью ординат. Координаты радиус-вектора точки M называются координатами этой точки в данной системе координат (x – абцисса, y – ордината).

Если e 1  и e 2  взаимно перпендикулярны и их модули равны единице, то базис называется ортонормированным, и мы получим известную нам прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Таким образом, рассмотренная здесь декартова система координат ( O e 1 e 2 )  является обобщением рассмотренной ранее прямоугольной декартовой системы координат, которая в свою очередь является частным случаем общей декартовой системы координат.

Мы видели (теорема 11.12), что свойства сложения и умножения вектора на число, записанные через координаты вектора, в произвольном базисе сохраняются. Рассмотрим, как изменится выражение для скалярного произведения, записанное через их координаты в произвольном базисе. Итак, пусть ( e 1 e 2 )  – произвольный базис, a = x 1 e 1 + y 1 e 2  и b = x 2 e 1 + y 2 e 2  – любые два вектора. Рассмотрим скалярное произведение этих векторов и преобразуем его, используя ранее доказанные свойства:

( a b ) =( x 1 e 1 + y 1 e 2 b ) = x 1 ( e 1 b ) + y 1 ( e 2 b ) = x 1 ( e 1 x 2 e 1 + y 2 e 2 ) + y 1 ( e 2 x 2 e 1 + y 2 e 2 ) =
= x 1 x 2 ( e 1 e 1 ) + x 1 y 2 ( e 1 e 2 ) + y 1 x 2 ( e 2 e 1 ) + y 1 y 2 ( e 2 e 2 ) =
x 1 x 2 | e 1 | 2 +( x 1 y 2 + y 1 x 2 ) | e 1 || e 2 |cos( e 1 ^ e 2 ) + y 1 y 2 | e 2 | 2 .

Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в произвольном базисе, кроме их координат, надо знать модули базисных векторов и угол между ними. Очевидно, что если базис ортонормирован, то | e 1 | 2 = | e 2 | 2 =1 ,
cos( e 1 ^ e 2 )=0  и мы получим известную формулу для скалярного произведения в ортогональной декартовой системе координат.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства (см., например, доказательство теоремы 11.10). Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатах. Одна и та же точка в различных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, прямая, окружность) в разных системах координат задается различными уравнениями. Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой. Ограничимся случаем ортогональных систем.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: ( O i j )  и ( O i  ′ j  ′ )  (см. рис. 11.3.2).

Первую систему с началом в точке O и базисными векторами i  и j  назовем старой, вторую, с началом в точке O' и базисными векторами i  ′  и j  ′ , – новой. Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка O' в старой системе имеет координаты ( ab ) , а вектор i  ′  образует с вектором i угол α, который отсчитывается в направлении против движения часовой стрелки от направления, задаваемого вектором i .

Рассмотрим произвольную точку M. Обозначим ее координаты в старой системе через (x, y), в новой – через (x', y'). Установим связь между старыми и новыми координатами точки M. Из рис. 11.3.2 по правилу треугольника имеем

OM = OO' + O'M .
Разложим векторы OM  и OO'  по базису i j , а вектор O'M  – по базису i' j' :
OM =x i +y j ;
OO' =a i +b j ;
O'M =x' i' +y' j' .
Равенство перепишется в виде:
x i +y j =( a i +b j ) +( x' i' +y' j' ) .
Новые базисные векторы i'  и j'  можно разложить по старым базисным векторам i j  следующим образом:
i' =cosα i +sinα j j' =cos( π 2 +α ) i +sin( π 2 +α ) j =-sin α i +cosα j .
Подставив найденные выражения для i'  и j'  в формулу, получим векторное равенство
x i +y j =a i +b j +x'( cosα i +sinα j ) +y'( -sin α i +cosα j ) ,
равносильное двум числовым равенствам:
{ x=a+x'cosα-y'sinα, y=b+x'sinα+y'cosα.
Эти формулы дают искомое выражение для старых координат через новые координаты x' и y'. Для того чтобы найти выражение для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнений относительно неизвестных x' и y'.

Если меняется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах α = 0, получаем

{ x=a+x', y=b+y'. ;
Эти формулы кратко называют формулами переноса.

Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах a = b = 0, получим

{ x=x'cosα-y'sinα y=x'sinα+y'cosα .
Эти формулы называются формулами поворота.





 

Конструктор Ninja купить
Предлагаем вам купить купить конструктор Lego! Выгодные цены, доставка
gameiq.ru
© Физикон, 1999-2015