Учебник. Гипербола и её свойства




Гипербола и её свойства

В § 7 было получено уравнение гиперболы. Перейдём к новой системе координат, как и в § 8.

В новой системе координат, которую называют также канонической, уравнение гиперболы имеет вид

x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 .

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Отметим следующие свойства гиперболы.


Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.


Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения

x 2 a 2 - y 2 b 2 =1x=0 .

Подставляя x = 0 в уравнение гиперболы, получим y 2 =- b 2 .   а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.

Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения

x 2 a 2 - y 2 b 2 =1y=0 .

Отсюда, подставляя y = 0 в уравнение гиперболы, получаем x = ±a.

Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A (a; 0) и B (–a; 0).


Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.


Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.


Обоснование этого свойства аналогично тому, как обосновано свойство 10.3 для эллипса.


Гипербола имеет центр симметрии.


Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка N, очевидно, симметрична точке M относительно начала координат.


Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.


Гипербола пересекается с прямой y = kx при | k |< b a  в двух точках. Если | k | b a .  то общих точек у прямой и гиперболы нет.


Для определения координат точек пересечения гиперболы и прямой y = kx нужно решить систему уравнений

{ x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 y=kx .

Исключая y, получаем

x 2 a 2 - k 2 x 2 b 2 =1 или ( b 2 - k 2 a 2 ) x 2 = a 2 b 2 .

При b 2 - k 2 a 2 0 .  то есть при | k | b a .  полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями y= b a x  и y=- b a x  называются асимптотами гиперболы.

При b 2 - k 2 a 2 >0 .  то есть при | k |< b a .  система имеет два решения:

x=± ab b 2 - k 2 a 2  и y=± kab b 2 - k 2 a 2 .

Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом, модуль которого меньше b a .  пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения A (a; 0) и B (–a; 0) – вершины гиперболы.


Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить её форму в первом квадранте координатной плоскости. Из полученных формул

x= ab b 2 - k 2 a 2 .    y= kab b 2 - k 2 a 2 k>0

видно, что при возрастании k от нуля до b a  (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая y = kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис. 10.9.1, и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых её ветвями.

Точки F 1 ( -c0 )  и F 2 ( c0 )  называются фокусами гиперболы. Здесь c= a 2 + b 2 .

Величина c a = a 2 + b 2 a = 1+ b 2 a 2  называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается так же, как и в случае эллипса, буквой ε.

Из определения

ε= 1+ b 2 a 2 >1 .

Из формулы видно, что чем меньше эксцентриситет, тем более гипербола сжата к оси Ox.

В соответствии с обозначениями

b 2 a 2 = p 2 k 2 k 2 -1 ( k 2 -1 ) 2 p 2 k 2 = k 2 -1 .

Тогда, аналогично случаю с эллипсом,

ε= 1+ b 2 a 2 = 1+ k 2 -1 =k .

Координаты точки A при переходе в новую систему координат будут равны

{ x'= p 2 - 1+ k 2 1- k 2 p 2 = k 2 p k 2 -1 =aε=c y'=-x=0 .

То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус F 2  гиперболы, и поэтому совпадает с ним.

Уравнение же прямой l в новой системе координат будет иметь вид

x'=- p 2 - 1+ k 2 1- k 2 p 2 = p k 2 -1 .

Обозначим p k 2 -1 =d .  Так как d= p k 2 -1 = pk ( k 2 -1 ) k = a ε . то, поскольку для гиперболы ε > 1, имеем d < a. Прямая x = d называется директрисой гиперболы, соответствующей фокусу F 2 . Прямую x = –d называют директрисой, соответствующей фокусу F 1 .

С учётом симметрии гиперболы относительно осей координат, свойство, с помощью которого определили гиперболу, в новых терминах можно сформулировать так же, как и в случае эллипса: отношение расстояния от любой точки гиперболы до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид гиперболы и её директрис в канонической системе координат приведен на рис. 10.9.2.





 

© Физикон, 1999-2015