Учебник. Эллипс и его свойства




Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом: x 2 b 2 + ( y- 1+ k 2 1- k 2 p 2 ) 2 a 2 =1k<1 . Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку O'( 0 1+ k 2 1- k 2 p 2 )  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам: { x=x'cos90ˆ-y'sin90ˆ, y= 1+ k 2 1- k 2 p 2 +x'sin90ˆ+y'cos90ˆ, или { x=-y', y=x'+ 1+ k 2 1- k 2 p 2 . В новой системе координат, которую называют канонической, уравнение эллипса имеет вид x' 2 a 2 + y' 2 b 2 =1 , при этом b 2 a 2 = k 2 p 2 1- k 2 ( 1- k 2 ) 2 k 2 p 2 =1- k 2 <1 , то есть при k < 1 получим, что a > b > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x' (y') писать x (y). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат. x 2 a 2 + y 2 b 2 =1a>b>0 . Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Рассмотрим свойства эллипса.

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения x 2 a 2 + y 2 b 2 =1   и   y=0 . Отсюда получим x = ±a. Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A (a; 0) и C (–a; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy – B (0; b) и D (0; –b).

Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки F 1 ( -c0 )  и F 2 ( c0 ) , где c= a 2 - b 2 ,  называются фокусами эллипса.

Пусть M (x; y) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса. F 1 M= ( x+c ) 2 + y 2 ;   F 2 M= ( x-c ) 2 + y 2 . Рассмотрим выражение ( x±c ) 2 + y 2 = x 2 ±2xc+ c 2 + y 2 = x 2 ±2xc+ a 2 - b 2 + y 2 =
= x 2 ±2xc+ a 2 - b 2 + b 2 ( 1- x 2 a 2 ) = a 2 - b 2 a 2 x 2 ±2xc+ a 2 = c 2 a 2 x 2 ±2x c a a+ a 2 = ( a+ c a x ) 2 .
Здесь мы учли, что координаты (x; y) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину ε= c a  называют эксцентриситетом эллипса. Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку | x |a ,  то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому F 1 M=a+εx ;  F 2 M=a-εx .

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим F 1 M+ F 2 M=a+εx+a-εx=2a .

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

В уравнение эллипса переменные x и y входят только во второй степени, поэтому если точка M( xy )  принадлежит эллипсу, то точки M 1 ( x-y )  и M 2 ( -xy )  также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка M 1  симметрична точке M относительно оси Ox, а точка M 2  – относительно Oy. Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

Эллипс имеет центр симметрии.

Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Пусть ω( 0a )  – окружность с центром в начале координат и радиуса a. Тогда X 2 a 2 + Y 2 a 2 =1 . Точке P( XY )  на окружности сопоставим точку P 1 ( xy )  такую, что x=X  и  y= b a Y . Точка P 1  получается сдвигом точки P, при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении b a . Координаты точки P 1 удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле, x 2 a 2 + y 2 b 2 = X 2 a 2 + ( b a Y ) 2 b 2 = X 2 a 2 + Y 2 b 2 =1 .

Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox, при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном b a .  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения b a :  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение b a ,  тем эллипс будет менее сжатым.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как ε= c a = a 2 - b 2 a = 1- ( b a ) 2 , то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k.

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений b 2 a 2 = k 2 p 2 1- k 2 ( 1- k 2 ) 2 k 2 p 2 =1- k 2 . Тогда ε= 1- ( b a ) 2 = 1-( 1- k 2 ) =k . Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l, есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки A( 0 p 2 )  при переходе в новую систему будут равны: { x'= p 2 - 1+ k 2 1- k 2 p 2 =- k 2 p 1- k 2 =-aε=-c y'=-x=0 . То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус F  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид y=- p 2 .  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l x'=- p 2 - 1+ k 2 1- k 2 p 2 = -p 1- k 2 . Обозначим p 1- k 2 =d  и покажем, что d= a ε .  Действительно, a ε = pk ( 1- k 2 ) ε = pk ( 1- k 2 ) k = p ( 1- k 2 ) =d . Поскольку для эллипса ε < 1, то d= a ε >a .

Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F1(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F2(c; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.





 

Теплый пол thermomat
Теплые полы. Интернет-магазин теплых полов
thermo.moscow
© Физикон, 1999-2015