Учебник. Кривые второго порядка




Кривые второго порядка

Изменим формулировку задачи предыдущего параграфа, заменив одну из точек прямой, а именно: найти множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки и данной прямой есть величина постоянная.

Пусть заданы прямая l и точка A, не лежащая на этой прямой, а также положительное число k. Выберем систему координат, поместив её начало в точку O – середину перпендикуляра AB, опущенного на прямую l. Луч OA при этом примем за положительную полуось Oy (см. рис. 10.7.2)

Обозначим расстояние от точки M до прямой l символом ρ( Ml ) . Тогда, если M – некоторая точка искомого множества, то условие запишется в виде MA ρ( Ml ) =k .

Пусть AB = p. Тогда координаты точки A будут ( 0 p 2 ) ,  а прямая l однозначно задается уравнением y= p 2 . Так как MA= x 2 + ( y- p 2 ) 2  и ρ( Ml ) =| y+ p 2 | , то уравнение искомой фигуры можно записать в виде

x 2 + ( y- p 2 ) 2 =k| y+ p 2 | .

Это уравнение равносильно

x 2 + ( y- p 2 ) 2 = k 2 ( y+ p 2 ) 2 .

Упростив, получим

x 2 + y 2 ( 1- k 2 ) -( 1+ k 2 ) py=( k 2 -1 ) p 2 4 .

Рассмотрим различные случаи:

  • Пусть k = 1. Тогда уравнение имеет вид y= 1 2p x 2 .  Известно, что это уравнение параболы. Отсюда получим, что геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки и данной прямой, является парабола (см. рис. 10.7.2).

Для дальнейшего анализа преобразуем исходное уравнение, выделив полный квадрат по переменной y:

x 2 +( 1- k 2 ) ( y 2 -2y 1+ k 2 1- k 2 p 2 + ( 1+ k 2 ) 2 ( 1- k 2 ) 2 p 2 4 ) - ( 1+ k 2 ) 2 ( 1- k 2 ) p 2 4 =( k 2 -1 ) p 2 4 ,

или

x 2 +( 1- k 2 ) ( y- 1+ k 2 1- k 2 p 2 ) 2 = p 2 k 2 ( 1- k 2 ) .

Поделив на выражение, стоящее в правой части, получим

x 2 p 2 k 2 ( 1- k 2 ) + ( y- 1+ k 2 1- k 2 p 2 ) 2 p 2 k 2 ( 1- k 2 ) 2 =1 .
  • Если k < 1, введём новые обозначения:
    p 2 k 2 ( 1- k 2 ) = b 2 ,   p 2 k 2 ( 1- k 2 ) 2 = a 2 ,   y = y- 1+ k 2 1- k 2 p 2 .
    Тогда уравнение запишется в более простой форме
    x 2 b 2 + y ′2 a 2 =1 .
  • Если k > 1, обозначим как и раньше
    p 2 k 2 ( 1- k 2 ) 2 = a 2 ,   p 2 k 2 ( 1- k 2 ) = b 2 ,   y- y 1+ k 2 1- k 2 = p 2
    и получим уравнение
    x 2 b 2 + y ′2 a 2 =1 .

Фигура, полученная в случае k < 1, называется эллипсом, а в случае k > 1 – гиперболой. Свойства полученных фигур будут исследованы далее.





 

© Физикон, 1999–2015