Учебник. Окружность Аполлония




Окружность Аполлония

Рассмотрим задачу: найти геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек – величина постоянная. Для решения этой задачи используем метод координат, а именно: получим уравнение фигуры, образуемой ГМТ, а далее изучим ее геометрические свойства.

Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве ее начала одну из двух заданных точек A и B (например, B), а ось Оx – так, чтобы вторая точка (пусть это будет точка A) лежала на положительной полуоси (см. рис. 10.6.1).

В данной системе координат точка B имеет координаты (0; 0), а точка A(a; 0), где a > 0. Пусть M (x, y) – произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи, то есть AM = k ċ BM, где k – заданное положительное число. Если k = 1, то это означает, что искомое множество состоит из точек, равноудаленных от данных точек A и B. Из свойств серединного перпендикуляра к отрезку следует, что искомым множеством в этом случае будет прямая, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно оси OX. Пусть теперь k ≠ 1. Из теоремы 10.2 имеем AM= ( x-a ) 2 + y 2 ;   BM= x 2 + y 2 , и условие принадлежности точки M искомому множеству можно записать в виде ( x-a ) 2 + y 2 =kċ x 2 + y 2 .

Это равенство эквивалентно равенствам x 2 -2xa+ a 2 + y 2 = k 2 x 2 + k 2 y 2 ;  ( 1- k 2 ) x 2 -2xa+ a 2 +( 1- k 2 ) y 2 =0 ;  x 2 -2x a 1- k 2 + a 2 + y 2 =0 .

Выделяя полный квадрат, получим x 2 -2x a 1- k 2 + a 2 ( 1- k 2 ) 2 - a 2 ( 1- k 2 ) 2 + a 2 + y 2 =0 ;  ( x- a 1- k 2 ) 2 + y 2 = a 2 k 2 ( 1- k 2 ) 2 .

Это уравнение окружности с центром в точке O( a 1- k 2 ,0 ) ,  лежащей на оси OX, и радиуса R= ak | 1- k 2 | .

Полученная окружность носит имя древнегреческого геометра Аполлония, решившего поставленную задачу чисто геометрическим методом.





 

© Физикон, 1999-2015