Учебник. Уравнение прямой




Уравнение прямой

Уравнение вида ax + by + c = 0 при условии, что a и b одновременно не равны нулю, задает прямую в плоскости Oxy, и наоборот, уравнение произвольной прямой может быть записано в указанном виде.

Пусть l – произвольная прямая на плоскости Oxy. Проведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой l, и отложим на ней от точки пересечения C с прямой l равные отрезки CA1 и CA2.

Пусть a1 и b1 – координаты точки A1, и a2 и b2 – координаты точки A2. Как известно, любая точка A (x; y) прямой l равноудалена от точек A1 и A2. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (x – a1)2 + (y – b1)2 = (x – a2)2 + (y – b2)2. Верно и обратное: если координаты x и y какой-либо точки удовлетворяют данному уравнению, то эта точка равноудалена от точек A1 и A2, а значит, принадлежит прямой l. Таким образом, уравнение является уравнением прямой l. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: x2 – 2a1x + a12 + y2 – 2b1y + b12 – x2 + 2a2x – a22 – y2 + 2b2y – b22 = 0 или 2(a2 – a1)x + 2(b2 – b1)y + a12 + b12 – a22 – b22 = 0. Обозначая 2(a2 – a1) = a; 2(b2 – b1) = b; a12 + b12 – a22 – b22 = c, имеем ax + by + c = 0. Теорема доказана.

Замечание. Если a = b = 0, то уравнение ax + by + c = 0 имеет вид c = 0. При этом любая точка плоскости удовлетворяет исходному уравнению, а если a = b = 0, а c ≠ 0, то ни одна точка плоскости Oxy не удовлетворяет данному уравнению. Следовательно, исходное уравнение есть уравнение прямой тогда и только тогда, когда a2 + b2 > 0.

Пусть b ≠ 0. Тогда уравнение прямой можно переписать в виде y = kx + d, где k= - a b ,   d= - c b .

Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла между положительной полуосью абсцисс и лучом прямой, лежащей в одной с положительной полуосью ординат полуплоскости относительно оси абсцисс.

Рассмотрим прямую, определяемую уравнением ax + by + c = 0.

    а) a = 0, b ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось ординат в точке с координатой y= - c b .

    б) b = 0, a ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке с координатой x= - c a .

    в) c = 0. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.





 

© Физикон, 1999-2015