Учебник. Отрезок на координатной плоскости




Отрезок на координатной плоскости

Проекцией отрезка AB на ось Ox (Oy) называется отрезок [Ax; Bx] ([Ay; By]), где Ax и Bx(Ay, By) соответственно проекции точек A и B на ось Ox (Oy).

Если A1 (x1; y1), A2 (x2; y2) две произвольные точки плоскости Oxy, а d – расстояние между ними, то d вычисляется из соотношения d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2.

Утверждение теоремы следует из определения проекций отрезка и теоремы Пифагора.

Длина проекции отрезка AB на ось абсцисс (ординат) равна |xA – xB|(|yA – yB|), где (xA; yA) – координаты точки A, (xB; yB) – координаты точки B.

Если A(x1; y1), B(x2; y2) – произвольные разные точки плоскости Oxy, то координаты (x; y) середины отрезка AB вычисляют по формулам x= x 1 + x 2 2 ,   y= y 1 + y 2 2 .

A (x1; y1) и B (x2; y2) – произвольные точки плоскости Oxy.

Пусть AB не параллелен оси Oy, т. е. x1 ≠ x2. Проведем через точки A, B, C прямые, параллельные оси Oy. Они пересекут ось Ox в точках Ax (x1; 0), Bx (x2; 0), Cx (x; 0). По теореме Фалеса точка Cx – середина отрезка [AxBx], то есть AxCx = CxBx или |x – x1| = |x – x2|. Отсюда либо x – x1 = x – x2, либо x – x1 = –(x – x2). Первое равенство невозможно, так как x1 ≠ x2, а второе дает x= x 1 + x 2 2 . Если x 1 = x 2 , то x= x 1 = x 2 и равенство остается верным. Ордината точки C находится аналогичными построениями и рассуждениями. Следовательно, y= y 1 + y 2 2 . Теорема доказана.

Если A (x1; y1), B (x2; y2) – произвольные разные точки плоскости Oxy, то координаты (x; y) любой точки C (x; y) отрезка AB могут быть вычислены по формулам x= x 1 +λ( x 2 - x 1 ),y= y 1 +λ( y 2 - y 1 ), где λ[0;1], и наоборот, любая точка C (x; y), где x и y найдены по этим формулам, является точкой отрезка AB при λ ∈ [0; 1].

Пусть [AB] – заданный отрезок, где A (x1; y1), B (x2; y2). Предположим x1 ≠ x2, y1 ≠ y2. Тогда прямая AB не параллельна осям координат. Проведем через точки A, C и B прямые, параллельные оси ординат. Они пересекут ось абсцисс в точках A x , B x   и   C x соответственно. По теореме 4.13 имеем 0< A x C x A x B x = AC AB =λ<1  или  A x C x =λ A x B x  или  |x- x 1 |=λ| x 2 - x 1 | . Отсюда либо x – x1 = λ (x2 – x1) или x = x1 + λ (x2 – x1), либо x – x1 = –λ (x2 – x1). Но если C – середина отрезка, то по теореме 10.3   λ= 1 2 ,   x= x 1 + x 2 2 , и второе равенство преобразуется к равенству x 1 = x 2 , что противоречит предположению.

Если x1 = x2, то x = x1 = x2 и равенство остается верным.

Аналогично доказывается, что ордината точки C удовлетворяет равенству y = y1 + λ (y2 – y1). Пусть теперь точка C (x; y) – произвольная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют заданным равенствам, где A (x1; y1) и B (x2; y2) – координаты двух разных заданных точек A и B соответственно в плоскости Oxy. Длина отрезка AC= ( x- x 1 ) 2 + ( y+ y 1 ) 2 = | λ |  ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 + y 2 ) 2 = | λ | AB . С учетом, что 0 < λ < 1AC = λ ċ AB. Длина отрезка CB= ( x- x 2 ) 2 + ( y+ y 2 ) 2 = | ( 1-λ ) ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 + y 1 ) 2 = | ( 1-λ ) | AB . Таким образом AC + CB = λ ċ AB + (1 – λ) AB = AB. Отсюда на основании аксиомы 1.4 и теоремы 5.5 имеем, что точка C принадлежит отрезку AB. Теорема доказана.





 

© Физикон, 1999-2015