Учебник. Парабола и ее свойства




Парабола и ее свойства

В § 7 мы получили уравнение фигуры, каждая точка которой равноудалена от данной точки A и данной прямой l, и назвали ее параболой. В выбранной системе координат ее уравнение имело вид y= 1 2p x 2 . Сделаем поворот системы координат на угол 90°, воспользовавшись формулами поворота { x=x'cos90ˆ-y'sin90ˆ=-y' y=x'sin90ˆ+y'cos90ˆ=x' . Запишем уравнение параболы в новой, канонической системе координат: y' 2 =2px' . Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. В дальнейшем знак «штрих» при переменных для удобства мы будем опускать.

Приведем следующие свойства параболы:

Парабола имеет ось симметрии.

Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N (x; –y) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox. Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат.

Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.

Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0.

Действительно, так как параметр p положителен, то уравнению y 2 =2px  могут удовлетворять только точки с неотрицательными абциссами, то есть точки полуплоскости x ≥ 0.

При замене системы координат заданная в условии точка A с координатами ( 0 p 2 )  будет иметь новые координаты, определяемые из соотношений { y'=-x'=0 , x'=y= p 2 . Таким образом, точка A будет иметь в канонической системе координаты ( p 2 0 ) .  Данную точку ( p 2 0 )  называют фокусом параболы и обозначают буквой F.

Прямая l, задаваемая в старой системе координат уравнением y=- p 2 ,  в новой системе координат будет иметь вид x'=- p 2 ,  или, опуская штриховку, x=- p 2 .

Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы. Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметром параболы. Очевидно, он равен p. Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.

Теперь свойство, через которое мы определили параболу, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: любая точка параболы равноудалена от ее фокуса и директрисы.

Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис. 10.10.1.





 

© Физикон, 1999-2015