Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 8. Правильные многогранники

Назад Вперед
Назад Вперед

8.1. Определение правильного многогранника

Среди плоских многоугольников особое место занимают правильные многоугольники. Как известно, для любого натурального n на плоскости существует правильный n-угольник. Естественно задаться вопросом, имеет ли место подобный факт в пространстве? Существуют ли «правильные многогранники», и что это такое?

Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников.

1
Рисунок 8.1.1

Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называют платоновыми телами.

Определение 8.1. 

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. Докажем это, а затем предъявим каждый из них, доказав тем самым их существование.

Лемма 8.1. 

Рассмотрим многогранный угол с вершиной S, у которого равны все плоские и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A1, A2, …, An так, что SA1 = SA2 = … = SAn. Тогда точки A1, A2, …, An лежат в одной плоскости и являются вершинами правильного n-угольника.

Доказательство

Теорема 8.1. 

Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

Доказательство

Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно пять, предъявив все пять видов многогранников.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.