Задачи с решениями

Изображаем на рисунке данный параллелепипед и маркируем рисунок. Заметим, что все ребра параллелепипеда имеют одинаковою длину a.

Известно, что объем параллелепипеда находится по формуле V = S₀·H (1), где S₀ – площадь основания, H – высота параллелепипеда. Зная формулу площади ромба, находим: S₀ = a²sinα. Осталось найти высоту параллелепипеда. Однако неясно, как искать высоту. Если мы проведем из точки B₁ перпендикуляр B₁O на плоскость основания, то где лежит точка O?

Пусть в некоторой плоскости α лежит угол M. Прямая a не лежит в плоскости α, проходит через точку M и образует со сторонами угла M равные углы. Тогда проекцией прямой a на плоскость α является биссектриса угла M. Пусть O = Пр_αA, A – произвольная точка прямой a. Проведем из точки O перпендикуляры OB и OC на стороны угла M. По теореме о трех перпендикулярах ABMB, и ACMC. Треугольники AMB и AMC равны (у них общая гипотенуза и равные острые углы: по условию AMB = AMC). Отсюда следует, что AB = AC. Далее видим, что OB = OC, т. к. равные наклонные AB и AC, проведенные из одной точки, имеют равные проекции. Из равенства OB = OC следует, что OMB = OMC, т. е. MO – биссектриса угла M.

Проведем высоту параллелепипеда B₁O. Поскольку B₁BC = B₁BA, то согласно результату, полученному на третьем шаге, точка O лежит на биссектрисе угла ABC, т. е. на диагонали BD.

Пусть B₁BO = x. Согласно формуле трех косинусов cosB₁BA = cos x · cosDBA или cos α = cos x · cos α/2, откуда

Из прямоугольного ΔB₁BO имеем:  Подставив полученный результат в формулу (1), имеем:

Ответ:

Замечание. Можно (но не обязательно) преобразовать полученный ответ: