Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 4. Многогранники

Назад Вперед
Назад Вперед

4.9. Сечения многогранников

Приведем несколько характерных примеров решения задач на комбинацию многогранников.

Пример 4.1. 

Дан куб с ребром a (чертеж 4.9.1). Точки MNP – соответственно середины ребер ABBCBB1. Найти объем пирамиды D1MNP.

Чертеж 4.9.1

Решение. Кроме пирамиды D1MNP куб содержит еще четыре пирамиды: PMBN, D1PNCC1B1, D1AMPB1A1, D1AMNCD с объемами соответственно V1V2V3V4. Пирамиды с объемами V2V3V4 равновеликие. Пусть V – искомый объем, а Vk – объем куба, тогда V = Vk – 3V2 – V1. Заметим, что
Окончательно имеем
Ответ.

Пример 4.2. 

Правильная треугольная призма имеет высоту h и сторону основания a (чертеж 4.9.2). Правильная треугольная пирамида имеет с призмой общее основание и размещена по одну с ней сторону относительно этого основания. Высота пирамиды равна 2h. Найти площадь полной поверхности той части пирамиды, которая лежит внутри призмы.

Чертеж 4.9.2

Решение. Находим площади оснований:
Пусть Sб – площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, тогда Sб = 3S, где S – площадь трапеции ABB2A2. Из Δ POD имеем
тогда
Следовательно,
Ответ.

Пример 4.3.  В конус вписан равносторонний цилиндр. Найти объем V цилиндра и площадь Sп его полной поверхности, если образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол γ (рис. 4.9.1), а высота конуса равна h.

1
Рисунок 4.9.1

Решение. Осевое сечение данной комбинации – это квадрат MNLT, вписанный в равнобедренный треугольник PABPAB = γ, PO = h – высота конуса; O1 = POTLPLT = PBA = γ. Пусть TM = x, тогда  Из Δ PO1L имеем PO1 = O1L tg γ, или  откуда  Далее находим

Ответ.  

Пример 4.4. 

В шар радиуса R (рис. 4.9.2) вписан цилиндр. Отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно t. Какие значения может принимать t?

2
Рисунок 4.9.2

Решение. Осевое сечение данной в условии комбинации шара и цилиндра – прямоугольник ABCD, вписанный в окружность  Пусть CAB = α, тогда из Δ AOK имеем OK = R sin α, AK = R cos α. По условию
то есть  при  следовательно, t может принимать как угодно малые положительные значения. Для определения максимального значения t найдем производную  и приравняем ее к нулю:
откуда  при tg 2α = 2 или при  Следовательно,  Принимая во внимание, что получаем:
Ответ.

Пример 4.5. 

В конус вписан шар радиуса r (рис. 4.9.3). Найти объем конуса, если его высота равна h.

3
Рисунок 4.9.3

Решение. Осевое сечение данной комбинации шара и конуса – это равнобедренный треугольник PAB, описанный вокруг окружности  PC = h – высота конуса, ODPB. Объем конуса  Заметим, что  поэтому
 или
откуда  Следовательно, имеем:

Ответ.

Пример 4.6. 

Шар вписан в усеченный конус (рис. 4.9.4). Доказать, что их объемы относятся как площади полных поверхностей.

4
Рисунок 4.9.4

Решение. Осевое сечение шара и усеченного конуса – это равнобедренная трапеция, описанная вокруг окружности  Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны r1 и r2, тогда объем шара  объем усеченного конуса   площадь поверхности шара  площадь полной поверхности усеченного конуса   Поскольку  то
что и требовалось доказать.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Пиротехника в спб
Приходите и покупайте красивые фейерверки. Подбор пиротехники. Звоните
pirotehnika.spb.ru
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.