В трапеции расстояния от центра вписанной окружности до концов меньшего основания равны 65 см и 75 см, а до концов боковой стороны – 75 см и 100 см. Найти периметр этой трапеции.
Решение
Шаг 1
На чертеже изображена трапеция ABCD, вписанная в нее окружность с центром в точке O и заданные отрезки.
Шаг 2
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. CO – биссектриса угла C, DO – биссектриса угла D, Поскольку BCD + ADC = 180°, OCD + ODC = 90°, значит, COD = 90°.
Шаг 3
Из прямоугольного треугольника ΔCOD по теореме Пифагора имеем:
Шаг 4
Проведем радиусы окружности из точек ее касания с трапецией: OM = ON = OP = OQ = r. Из прямоугольного треугольника ΔCOD имеем: r · CD = CO · DO или r · 125 = 75·100, откуда r = 60 см.
Шаг 5
Треугольник ΔAOB – прямоугольный, поскольку AO и BO – биссектрисы углов ABC и BAD, сумма которых равна 180°.
Шаг 6
Из прямоугольного треугольника ΔPOB имеем:
Из прямоугольного треугольника ΔAOB имеем: OP2 = PB · PA или 602 = 25 · PA, откуда PA = 144 см. Значит, BA = BP + PA = 25 + 144 = 169 см.
Шаг 7
Сумма боковых сторон трапеции равна AB + DC = 169 + 125 = 294 см. Поскольку трапеция описанная, то BC + AD = AB + DC = 294 см. Таким образом, периметр трапеции равен AB + BC + CD + DA = 2·294 = 588 см.
Задачи с решениями
5 из 5
Из прямоугольного треугольника 
