Задачи с решениями

Из вершины острого угла ромба проведены высоты к сторонам ромба, равные 3 см каждая, а расстояние между их основаниями равно   Вычислить длины диагоналей ромба.

Пусть ABCD – данный ромб с острым углом α при вершине A, AM и AN – высоты ромба длины h, O – точка пересечения его диагоналей (см. рисунок). В равнобедренном треугольнике MAN известны все стороны. По тереме косинусов вычислим величину косинуса угла MAN:   Отсюда MAN = 120°. Диагональ AC ромба является его биссектрисой (теорема 8.6), поэтому MCA = NCA = α/2. Треугольники AMC и ANC равны по катету и гипотенузе (AM = AN = h, AC – общая гипотенуза). Поэтому MAC = NAC. Но MAC + NAC = MAN = 120°. Отсюда MAC = 60°.

В прямоугольном треугольнике AMC:
1) MAC + MCA = 90°. Отсюда   и α = 60°.
2)   и   В прямоугольном треугольнике BOC:     Но   и   поэтому

2 из 6