Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 5. Решение треугольников

Назад Вперед
Назад Вперед

5.1. Прямоугольный треугольник

Аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

1
Рисунок 5.1.1.
Прямоугольный треугольник

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть угол (BAC) – искомый острый угол. Так, например, для угла BAC (рис. 5.1.1)


Теорема 5.1. 

Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Доказательство

Теорема 5.2. 

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Модель 5.2. Доказательство теоремы Пифагора

На рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. BC и AC – его катеты, AB – гипотенуза. По теореме BCAC2 = AB2.

Доказательство

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Косинус любого острого угла меньше единицы.

Пусть [BC] – перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a, и A – любая точка этой прямой, отличная от C. Отрезок AB называется наклонной, проведенной из точки B к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок AC называется проекцией наклонной.

С помощью теоремы Пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла (BAC) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем

Так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла.

4
Рисунок 5.1.4

Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника , то


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.